EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL MEDIO BÁSICO.

         INSTITUTO SUPERIOR PEDAGÓGICO ENRIQUE JOSÉ VARONA.

FACULTAD DE CIENCIAS.

DEPARTAMENTO DE  MATEMÁTICA-COMPUTACIÓN.

MAESTRÍA EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA.

EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA MATEMÁTICA EN EL NIVEL MEDIO BÁSICO.

Autora: Lic. Ana  Gloria López Fernández.

Tutor: Dr. Paul Torres Fernández.

Ciudad Habana,  julio de 1998.

EL APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO DE LA MATEMÁTICA EN  EL NIVEL MEDIO BÁSICO.

RESUMEN:

Considerando los bajos resultados de los estudiantes en el aprendizaje de la Matemática del nivel medio, así como la falta de motivación hacia el  estudio de la signatura, se ha planteado la búsqueda de una alternativa metodológica que contribuya al mejoramiento de la Matemática escolar.

En correspondencia con ello, en este trabajo se hace una propuesta metodológica para el tratamiento de la Matemática del nivel medio básico a partir del enfoque conocido como Aprendizaje Significativo.

En ese sentido, se hace una valoración de las posibilidades de utilización del Aprendizaje Significativo en la enseñanza de la asignatura, y se formulan recomendaciones metodológicas acerca de cuándo y cómo utilizar este enfoque didáctico  en el aprendizaje de la Matemática del nivel medio.

También se presentan los resultados de la validación de la propuesta en las unidades de 7. grado: "Números Racionales" y "Geometría", en un grupo de la Secundaria Básica "Luis Fernández", del municipio Cerro.

Dedicatoria :

A mis padres y a mi hijo, por la inspiración ;

a mi tutor y esposo, por las enseñanzas.

         La autora.

Agradecimientos :

La autora desea expresar su más sincero agradecimiento a todas las personas que directa o indirectamente contribuyeron a la realización de esta Tesis.

De manera especial desea reconocer las oportunas y profundas observaciones del MSc. Hilario Santana, las recomendaciones del colectivo de la disciplina Metodología de la enseñanza de la Matemática del ISPEJV, el apoyo material y moral del claustro de Matemática de la ESBU “Luis Fernández” y de su directora, Lic. Yassell Torres, así como de la Jefa de Superación e Investigaciones de la Dirección Municipal del Cerro.

La autora.

 

Índice :

Introducción.                                                                                          1

Capítulo I : Fundamentos teóricos generales.                                       8

1.1.- Caracterización de Aprendizaje Significativo.                          8

1.2.- Fundamentos teóricos del Aprendizaje Significativo.            13

1.3.- Ventajas del Aprendizaje Significativo.                                  17

1.4.- Limitaciones del Aprendizaje Significativo.                            18

1.5.- Exigencias y estructura del Programa de Matemática

para la Secundaria Básica.                                                    19

1.6.- Particularidades psicológicas de los alumnos del

nivel medio básico.                                                                 20

1.7.- Conclusiones del capítulo.                                                       21

Capítulo 2 : Propuesta de estructuración del Aprendizaje

Significativo en la enseñanza de la Matemática.                23

2.1.- Recomendaciones acerca de cuándo utilizar el

Aprendizaje Significativo.                                                       23

2.2.- Recomendaciones acerca de cómo utilizar el

Aprendizaje Significativo.                                                       25

2.3.- Ejemplos de aplicación del Aprendizaje Significativo

a la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico.     31

2.4.- Conclusiones del capítulo.                                                       36

Capítulo 3 : Reseña de una experiencia pedagógica acerca del

empleo del Aprendizaje Significativo.                                    37

3.1.- Organización del pre - experimento.                                       37

3.2.- Resultados de la aplicación de los instrumentos de

investigación.                                                                          45

3.3.- Conclusiones del capítulo.                                                       57

Conclusiones.                                                                                       58

Recomendaciones.                                                                                60

Bibliografía.                                                                                          61

Anexos.                                                                                                 64

INTRODUCCIÓN:

La enseñanza de la  Matemática escolar juega un papel importante en la formación de individuos que sean  capaces de asumir los retos científicos y técnicos que demanda el  actual desarrollo social. En este sentido, es necesario que los alumnos en la escuela aprendan a aprender. 

Con el logro de una independencia cognoscitiva en la obtención de los conocimientos la asignatura puede realizar un aporte significativo a estos fines generales; ya sea a través de la contribución al desarrollo de capacidades mentales generales de los alumnos, así como mediante el fomento de la creatividad y la fantasía, y  la creación de hábitos de disciplina, entre otros.

Sin embargo, la falta de motivación por el estudio de la Matemática y el pobre desarrollo de las habilidades en esta asignatura son obstáculos al logro de esos propósitos, y constituyen  dificultades a las cuales se deben enfrentar sistemáticamente los profesores de Matemática durante el desempeño de su profesión..

Esta situación, que tiene una manifestación universal, se presenta también en Cuba. Se tiene así que, por ejemplo, ya en 1984 la situación de la enseñanza de la Matemática en el nivel medio era reconocida como un problema  a resolver en el país. Desde el IV Seminario Nacional del Ministerio de Educación  (MINED) se habla de “formalismo en la enseñanza de la Matemática”, como una manera de significar la pobre contribución de la asignatura al aprendizaje significativo de los alumnos.

Al cambiar los Programas de Matemática, entre 1989 y 1991, la dirección del MINED orientó evaluar la situación de la calidad y la eficiencia del aprendizaje de la asignatura. Como resultado del estudio se pudo constatar que, todavía en esa fecha, se presentaban serias dificultades con la enseñanza de la Matemática Elemental: el 80% de los estudiantes de Secundaria Básica y el 70% de los estudiantes de preuniversitario no podían resolver satisfactoriamente ejercicios no formales de Matemática;  cuando los ejercicios presentados tenían la exigencia de tener  carácter de problema  se obtuvieron resultados  todavía más bajos.

La autora puede referir numerosas situaciones particulares donde ese fenómeno se manifiesta, y diversas anécdotas que muestran que a esos resultados se le une un marcado desinterés de los alumnos por la asignatura. De manera particular, en el diagnóstico realizado al inicio del curso 97-98 en los grupos de 7. grado  de la Secundaria Básica "Luis Fernández", del municipio Cerro, sólo se alcanzó un 25% de aprobados y una parte importante de los alumnos reconocían falta de atractivo por el estudio de la Matemática.

Tal situación no es nueva; en los años de experiencia como profesora de Matemática, la autora se ha encontrado con  un gran número de estudiantes que manifiestan que los conocimientos que reciben no les interesa pues no saben para qué les sirven, que la Matemática no tiene para ellos una connotación práctica; en otras palabras, que los conocimientos que reciben no les son significativos.

En muchos casos, en las clases de Matemática se le presentan a los alumnos colecciones de ejercicios para que logren interiorizar un algoritmo, una fórmula, un teorema; mientras es poco frecuente la presentación de actividades para el desarrollo del pensamiento independiente y creador en los estudiantes. Con este proceder no se han obtenido resultados satisfactorios en el aprendizaje de la Matemática.

En correspondencia con ello, la Didáctica Cubana se ha dado a la tarea de buscar alternativas metodológicas que propicien el interés  de los alumnos por el aprendizaje de la Matemática y la apropiación  efectiva de los contenidos.

 A continuación se muestran  algunas declaraciones formuladas al respecto:

*      "En búsqueda de propiciar la participación activa y consciente de los alumnos, así como de contribuir al desarrollo de su pensamiento, nos propusimos estudiar la dinámica de grupos, su concepción, sus técnicas y posibilidades de aplicación en la enseñanza de la Matemática." (Ballester, 1995)

*      "La capacitación del hombre para la solución de problemas es un punto muy discutido en el mundo pues se considera una actividad de gran importancia en la enseñanza; ésta caracteriza a una de las conductas más inteligentes del hombre y que más utilidad práctica tiene, ya que la vida misma obliga a resolver problemas continuamente.

"En este sentido se comprende, cada vez con más claridad, que no se trata de que en la escuela se depositen contenidos en los alumnos como si se tratara de recipientes, sino de desarrollar sus capacidades para enfrentarlos al mundo y, en particular, enseñarlos a aprender." (Campistrous y Rizo, 1996)

*      "Un análisis de la caracterización y los fundamentos de la Enseñanza Problémica permite inferir que la importancia de esta forma de organizar la enseñanza  radica en que:

·     Eleva el grado de actividad mental en la clase.

·     Propicia el pensamiento creador  de los estudiantes, y

·      Contribuye al desarrollo de la personalidad de los alumnos." (Torres, 1993)

Incluso, estas preocupaciones se encuentran ya en fases primarias de la formación de la Didáctica de la Matemática cubana, como cuando señaló la Dra. D.M. Escalona :

"....creemos oportuno insistir, una vez más, en la conveniencia de modificar la manera tradicional de concebir la enseñanza de la Aritmética." (Escalona, 1959)

Las propuestas metodológicas mencionadas tienen en común el pretender superar los marcos estrechos del aprendizaje memorístico y reproductivo. A pesar de sus reconocidas ventajas, el nivel de aplicabilidad está condicionado, entre otras cosas, por las características de los alumnos.

Si  la mayoría de los estudiantes de un grupo no se sienten motivados por  la Matemática, o han presentado serias deficiencias en su aprendizaje, no ayudaría a resolver estas dificultades la  utilización de la Enseñanza Problémica y la Instrucción Heurística dadas las elevadas exigencias que le plantea tanto al profesor como a los alumnos.  (Torres, 1993)

Esta situación, y las arriba descritas, se producen con independencia de que no son pocas las propuestas didácticas para la enseñanza de la Matemática que se han venido divulgando en los últimos años  en Cuba (Torres, 1996a) (Torres, 1996b). Lo cual ratifica el criterio, suficientemente plausible, de que no existe una metodología absolutamente eficiente.

La autora coincide con el criterio de que es necesario "...proveer al educador matemático cubano de nuevas y más amplias alternativas didácticas" (Torres et al., 1998). Lo que se interpreta como que las vías para desarrollar el aprendizaje de la Matemática deben ser seleccionadas teniendo en cuenta aspectos como: el nivel de conocimientos previos de los alumnos, el nivel de desarrollo de las habilidades profesionales del docente, las características del contenido a impartir, el nivel de organización de la escuela, y la influencia del entorno social, entre otros factores.

En muchas de las clases de Matemática el profesor dirige su atención a los alumnos que les gusta la asignatura y que poseen un buen nivel de desarrollo de las habilidades matemáticas, esto se produce por el grado de dificultad cognoscitiva que se presentan en las actividades a desarrollar, ya sea en la elaboración del nuevo contenido como en las clases de ejercitación. Sin embargo, a los alumnos de medio y  bajo rendimiento no se les da una adecuada atención durante la clase.  

En correspondencia con lo anterior, esta autora se ha dado a la tarea de indagar sobre posibles proyecciones didácticas que propicien el interés por la Matemática y el mejoramiento de su aprendizaje, sobre todo en alumnos de medio y de bajo rendimiento. Como resultado de esta búsqueda le llamó la atención  el proyecto identificado como Aprendizaje Significativo, especialmente divulgado en la literatura psico - pedagógica a partir de los trabajos de D. Ausubel.

"Se suele denominar Aprendizaje Significativo a aquel que realiza el alumno construyendo el nuevo conocimiento sobre la base de sus propios esquemas mentales, después de haber experimentado la ausencia de conocimientos para resolver situaciones  relacionadas con la vida práctica o con otros conocimientos previos que ellos ya poseen." (Escaño et al., 1992)

En esta caracterización se alude a la motivación, cuando se reconoce que el alumno debe experimentar la ausencia de conocimientos para darle solución a una situación que se le plantea, ya sea relacionada con conocimientos precedentes o relacionadas con la vida práctica. Sin restarle importancia a la vinculada con los conocimientos precedentes, la autora considera que se le debe prestar mayor atención al hecho de partir de situaciones vinculadas con la vida práctica, con vistas a desarrollar el interés por el estudio de la Matemática. En relación con esto se expone en la literatura especializada:

*      "Lo que está faltando en la educación Matemática es esa proyección desde una situación ligada a un contexto hacia una situación descontextualizada. Siempre operamos en situaciones descontextulizadas con los niños y ellos ignoran el por qué, el dónde y el cómo han surgido las cosas que aprenden." (Gálvez et al., 1995)

*      "La Matemática en contexto facilita el proceso de enseñanza - aprendizaje ya que ofrece aplicaciones no artificiales las cuales son del interés de alumno, con lo cual se le motiva desde el principio, pues observa que está estudiando un material que le será de utilidad entre otros. Asimismo la Matemática en contexto permite un certero diseño curricular de los cursos de Matemática en escuelas en donde la Matemática no es una meta por sí misma." (Camarena, 1995)

*      ".....el hombre comienza a pensar cuando tiene la necesidad de comprender algo. El pensamiento comienza con un problema, una pregunta, una contradicción, asombro o sorpresa. La efectividad del aprendizaje depende grandemente que los alumnos hayan adquirido conciencia de la necesidad de aprender, de comprender. En relación con esto hay que tener en cuenta que en el caso específico de la Matemática, son pocas las abstracciones, así como los métodos matemáticos que se derivan directamente de la experiencia cotidiana." (Ballester et al., 1992)

*      "En el análisis realizado de los resultados de las pruebas realizadas se resume que: atendiendo al contenido los mejores resultados se observan en las preguntas relacionadas con temas de la vida cotidiana y los peores en las de contenido “abstracto”." (Durán, 1997)

Estas ideas estaban ya presentes en los textos de la Dra. D. M. Escalona, en los que se resalta la necesidad de vincular la enseñanza de la Aritmética con la vida, como cuando señala:

*      "Hacer al niño consciente de la significación social de la Aritmética es uno de los objetivos de su enseñanza. Para lograrlo debemos:

à      hacerlo sensible a los elementos cuantitativos de las situaciones con que se enfrenta en su vida diaria y en sus relaciones con la comunidad, y

à      crearle el hábito de usar los números de modo inteligente en tales situaciones.

     Debemos guiarlo para que:

à      descubra los modos en que funciona la Aritmética en la escuela, en el hogar y en la comunidad,

à      mostrarle cómo, dónde y cuándo puede usar las destrezas y habilidades que está adquiriendo, y

à      proporcionarle la oportunidad de aplicarlas.

     Hacer al niño consciente de la utilidad social de la Aritmética es provechoso por varias razones:

à      es una de las maneras de motivar el aprendizaje, de lograr que el niño desee aprender Aritmética.

à      a través de las aplicaciones sociales se comprende mejor lo que se aprende.

à      comprender y usar la Aritmética es una manera de enriquecer la vida. 

(Escalona, 1959)

El otro aspecto caracterizador del Aprendizaje Significativo se refiere a la construcción del conocimiento sobre la base de los esquemas mentales. Se entiende por esquemas mentales a las estructuras intelectuales que organizan los fenómenos tal y como el individuo los percibe, y que a su vez los clasifica en grupos atendiendo a sus características comunes.

Al respecto, apunta (Wadsworth, 1991): "...las estructuras mentales son muy parecidas a las corporales. Todos los animales tienen estómago, estructura que permite la alimentación y la digestión. Piaget, para ayudar a explicar por qué los niños (y todas las personas) responden de manera estable a los estímulos y para dar razón de muchos de los fenómenos asociados con la memoria, usa el término esquema, el que, pluralizado, sirve para designar las estructuras cognitivas o mentales mediante las cuales los individuos se adaptan intelectualmente al medio y lo organizan."

Es muy importante tener en cuenta que el conocimiento se debe elaborar para que se comprenda el significado de lo que se está aprendiendo.

 En este sentido D.M. Escalona insistía en que el aprendizaje de las operaciones de cálculo carecen de sentido si se inicia a partir de la expresión simbólica, se hace que el niño aprenda su resultado por repetición y se le muestran al final los tipos de problemas en que se usa.

 Para que la enseñanza de una operación tenga sentido para el alumno, se ha de seguir el orden inverso: partir de situaciones reales  que permitan poner de manifiesto el significado de la operación, el trabajo con materiales para descubrir su significado y llegar después a la expresión simbólica.

En relación se ha planteado"...si bien es cierto que la enseñanza de la Matemática debe poner de manifiesto el carácter abstracto de esta ciencia y familiarizar a los alumnos con el razonamiento abstracto, resulta contraproducente enfrentar a los alumnos demasiado pronto con conceptos y métodos abstractos, para los cuales no existe una suficiente base de conocimientos concretos - sensoriales en su experiencia anterior". (MINED, 1989)

Sin embargo, son pocas las experiencias referidas en la literatura pedagógica acerca de la utilización del Aprendizaje Significativo  en la enseñanza de la Matemática; tampoco abundan en los libros de texto escolares los ejemplos y actividades docentes que inducen un trabajo en esa dirección. Con relación a esto se cita: "....cuando una persona se interesa en aplicar los principios psicológicos para perfeccionar su práctica docente, se encuentra con la carencia de sugerencias concretas para hacerla más efectiva. Lo anterior ocurre porque usualmente los textos disponibles son demasiado generales, con amplias revisiones teóricas, pero que rara vez resaltan las prescripciones teóricas para solucionar los problemas dentro del aula." (Guzmán y Hernández, 1993)

Se tiene así que, por ejemplo, en la unidad "Números racionales" de 7. grado sólo aparecen tres ejemplos para motivar el estudio de este dominio numérico, y no aparecen ejercicios relacionados con situaciones del entorno del estudiante;  no es hasta el epígrafe "Sustracción de números racionales" que aparecen dos problemas  de cálculo de temperatura; de modo que en esa unidad, que tiene trece epígrafes, no hay suficientes ejemplos y ejercicios vinculados con la vida práctica.

Esto se contrapone a lo ya resaltado acerca de utilizar ejemplos donde se destaque la significación de la asignatura.

Justamente ahí radica el  PROBLEMA CIENTÍFICO  que se aborda en el presente trabajo: ¿Cómo lograr un mejoramiento del aprendizaje de la Matemática escolar del nivel medio básico sobre la base del desarrollo de un Aprendizaje Significativo?

El OBJETO de estudio de la tesis es, por tanto, el proceso de enseñanza - aprendizaje de la Matemática del nivel medio básico.

Resolver el problema planteado presupone dos momentos en la actuación del profesor: el de decidir si se usa o no dicha propuesta  y el de la instrumentación concreta de la misma. Por tanto se han propuesto los siguientes OBJETIVOS:

1.    Determinar bajo qué condiciones es recomendable la utilización del  Aprendizaje Significativo  en el caso del conocimiento matemático que se trabaja en el nivel medio básico.

2.    Elaborar recomendaciones metodológicas de cómo desarrollar con efectividad un  Aprendizaje Significativo de la Matemática en ese nivel de enseñanza.

El logro de los mismos presupone dar respuesta a las siguientes PREGUNTAS CIENTÍFICAS:

1.    ¿Qué entender por Aprendizaje Significativo y en qué aspectos teóricos se fundamenta?.

2.    ¿Qué ventajas y limitaciones reporta la utilización del  Aprendizaje Significativo en la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico?.

3.    ¿Bajo qué condiciones se recomienda utilizar el Aprendizaje Significativo en la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico?

4.    ¿A partir de qué recomendaciones metodológicas se puede aplicar eficientemente el Aprendizaje Significativo en la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico?

5.    ¿Se confirma la validez de la propuesta de Aprendizaje Significativo de  la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico en las particularidades de una escuela cubana?.

Para dar respuesta a las preguntas científicas formuladas se han previsto como TAREAS DE INVESTIGACIÓN  las siguientes:

1.    Análisis de diferentes concepciones teóricas y metodológicas sobre el aprendizaje de la Matemática difundidas actualmente en Cuba.

2.    Revisión de la literatura relacionada con el Aprendizaje Significativo.

3.    Análisis de las particularidades de la enseñanza de la Matemática de nivel medio básico.

4.    Elaboración de Recomendaciones Metodológicas para la selección y aplicación del Aprendizaje Significativo de la Matemática del nivel medio básico.

5.    Validación de las Recomendaciones Metodológicas elaboradas a través de un pre - experimento.

En correspondencia con éstas, la investigación se apoyó en los siguientes  MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN:

A nivel teórico:

Análisis - síntesis, inducción - deducción, e histórico - lógico, todos de gran utilidad para comparar y confrontar los diferentes resultados de la literatura consultada, establecer regularidades, y trabajar con  del objeto de investigación.

A nivel empírico:

La observación directa, la aplicación de tests, la encuesta y el estudio de casos; los que han posibilitado obtener información acerca de los problemas que existen en el proceso de enseñanza - aprendizaje y la viabilidad de las recomendaciones que se proponen.

El APORTE TEÓRICO de la Tesis radica en la concreción que realiza del enfoque didáctico conocido como Aprendizaje Significativo a las particularidades de la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico, de lo cual no se tienen  experiencias significativas en Cuba. En consecuencia se  formulan criterios acerca de cuándo y cómo aplicar el Aprendizaje Significativo al trabajo con la asignatura, lo que  constituye un enriquecimiento de la teoría general de la Didáctica de la Matemática en el país.

La SIGNIFICACIÓN PRÁCTICA  de este trabajo está dada porque a partir de sus resultados se contará con Recomendaciones Metodológicas para la aplicación del Aprendizaje Significativo a la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico; las que pudieran ser tenidas en cuenta para la realización de actividades metodológicas en escuelas Secundarias Básicas y en la impartición de cursos de postgrados acerca de temas actuales de la enseñanza de la Matemática.

La Tesis está compuesta, además de la presente Introducción, por tres Capítulos, las Conclusiones y Recomendaciones, la Bibliografía, y los Anexos. En el Capítulo I se declaran los fundamentos teóricos generales que ha asumido la autora para la elaboración, en el Capítulo II, de la propuesta didáctica, concretada en términos de recomendaciones metodológicas. En el Capítulo III se describe la organización, ejecución, y resultados de la experiencia pedagógica desarrollada para validar la solución teórica dada al problema científico.

Finalmente, hay que decir que de esta investigación se han expuesto resultados parciales en los siguientes eventos científicos:

·      Pedagogía´97 (a nivel de base, municipal, y provincial)

·      II Encuentro de la Enseñanza de la Matemática de la Cátedra Dulce María Escalona, del ISPEJV y

·      Evento Pedagogía´99 (a nivel de base,  municipal, y provincial)

Capítulo 1: Fundamentos teóricos generales.

1.1.- Caracterización de Aprendizaje Significativo.

Teniendo en cuenta que la primera pregunta científica se refiere a qué entender por Aprendizaje Significativo,  se comenzará este trabajo dándole respuesta a la misma.

A  través  del estudio bibliográfico realizado  se  ha  constatado que existen  varias  caracterizaciones  de Aprendizaje Significativo. Entre ellas se pueden citar las siguientes:

"Un  Aprendizaje Significativo es aquel que parte del  desarrollo conceptual del niño, que enlaza lo que ya conoce con lo que  debe conocer. Por ejemplo, los  algoritmos son procedimientos  inventados  por  el hombre.  Algunos  como la división, tienen un  uso  relativamente reciente (apenas cuatro siglos). El hombre los ha construido  con esfuerzo  y a base de tanteos. No se puede pretender que un  niño comprenda  su  necesidad y formulación sin antes  pasar  por  una labor previa de construcción del conocimiento. Se le debe mostrar y demostrar que un determinado algoritmo es más útil y económico, menos  propenso  a errores y más general que el  que  él  utiliza informalmente. Se le debe mostrar que este algoritmo más o  menos sofisticado  está relacionado con los  procedimientos  informales que él utiliza. Sólo así el aprendizaje será realmente  significativo". (Maza,1995)

Para C. Rogers el Aprendizaje Significativo se reduce a una adquisición de conocimientos de tipo experiencial o vivencial; la concepción es: "Ahora estoy aprendiendo lo que necesito o quiero".(Oliveros,1996)

D. Ausubel, por su parte,  señala que:"...un aprendizaje es significativo cuando puede relacionarse de modo no arbitrario y sustancial con lo que el alumno ya sabe.”

Refiriéndose a lo anterior plantea :”En otras palabras, un aprendizaje es significativo cuando puede incorporarse a las estructuras de conocimiento que posee el sujeto, es decir cuando el nuevo material adquiere significado para el sujeto a partir de su relación con conocimientos anteriores. Para ello es necesario que el material que debe aprenderse posea un significado en sí mismo, es decir que haga una relación no arbitraria o simplemente asociativa entre sus partes. Pero es necesario que el alumno disponga de los requisitos cognitivos necesarios para asimilar el material.”(Ausubel ; citado por Aguirre,1995)

Algunos de estos autores al plantear las caracterizaciones han formulado además condiciones y principios asociados al Aprendizaje Significativo.

En el caso de C. Rogers formula  los siguientes principios para el Aprendizaje Significativo:

1.    El  ser humano posee una potencialidad  natural  para  el aprendizaje.

2.    El Aprendizaje Significativo tiene lugar cuando el alumno percibe el tema  como algo importante para sus estudios.

3.    Los  aprendizajes  que se relacionan con  sí  mismo se perciben  y asimilan con mayor facilidad si no  existen  amenazas externas que lo afecten.

4.    La mayor parte del Aprendizaje Significativo se  facilita con la vinculación con situaciones de la vida real.

5.    El aprendizaje se potencia cuando el alumno participa  de manera responsable en el proceso de aprendizaje.

6.    La autonomía del alumno, su creatividad, y su  confianza en sí mismo se facilitan si se le asigna especial importancia a la auto - evaluación y a la autocrítica.

7.    El aprendizaje social más útil en el mundo moderno  es el aprendizaje del proceso de "aprender" que significa: "adquirir una actitud de apertura frente a las experiencias y al progreso".

L. Álvarez, en su artículo "Modelo de logro de un  Aprendizaje Significativo  por  construcción del conocimiento",  expresa  que éste  se basa en una serie de principios:

·      la asimilación  activa,

·      la construcción del conocimiento,

·      la diferenciación progresiva,  y

·      la reconciliación integradora.

A  partir  de ellos, plantea una serie  de  claves  metodológicas (motivación,  activación,  secuenciación e  integración)  que  van dando  respuesta a las exigencias que se van presentando en  cada momento, desde que el alumno recibe la información hasta que  la interioriza; es decir, las operaciones que tiene que ir haciendo el alumno para ir procesando significativamente la información, y en  consecuencia,  qué ayudas concretas  debe  proporcionarle  el profesor para lograrlo. (Álvarez, 1995)

Explica  asimismo que el principio de la asimilación activa se pone de manifiesto  en este modelo, pues el mismo supone una intensa  actividad personal del alumno, con el fin de llegar a establecer  relaciones entre los nuevos conocimientos y los ya integrados en su estructura cognitiva; para esto se exige como clave  metodológica  la motivación por parte del alumno.

Se  refiere a que la motivación matemática es variada, que  si  se quiere  interesar  a  los alumnos es  necesario utilizar problemas que sean actuales, considerar las inclinaciones de los estudiantes, además  de conocer  sus  características, tanto en el orden  cognitivo  como afectivo, con vistas a influir de manera positiva en el pensamiento escolar espontáneo.

Para el logro de  la  motivación matemática sugiere que el maestro  se apoye en:

·      el valor social de las Matemáticas.

·      las aplicaciones prácticas.

·      la utilidad de las Matemáticas para comprender otras materias  del plan de estudios.

·      el uso de las cuestiones históricas, etc.

D. Ausubel plantea  que para que el aprendizaje  sea   significativo  deben cumplirse las siguientes condiciones:

1.    El material no debe ser arbitrario, esto ocurre si sus elementos están organizados y no yuxtapuestos.

2.    En  la  persona  que  debe  aprenderlo  debe  existir   una predisposición  para  el aprendizaje;  debe  tener algún motivo para esforzarse.

3.    Es necesario que la estructura cognitiva del alumno  contenga ideas  inclusoras,  ideas con las que pueda  ser  relacionado  el nuevo material.

D. Ausubel establece claramente las diferencias entre el Aprendizaje Memorístico y  el Aprendizaje Significativo. En ese sentido destaca que en el Aprendizaje Memorístico hay una incorporación no sustantiva,  arbitraria  y  verbalista de  nuevos  conocimientos  en  la estructura cognitiva; no existe ningún esfuerzo por integrar los nuevos  conocimientos  con  los ya existentes  en ella;  el aprendizaje no es relacionado, por tanto, con  experiencias, con  hechos  u objetos; no hay ninguna implicación  afectiva  al  no relacionar los nuevos conocimientos con aprendizajes anteriores.

En el Aprendizaje Significativo hay una incorporación  sustantiva, no  arbitraria  y no verbalista, de nuevos  conocimientos  en  la estructura  cognitiva; existe un esfuerzo por relacionar los  nuevos conocimientos  con conceptos de nivel superior, y con los ya  existentes  en la estructura cognitiva; el  aprendizaje  está relacionado  considerablemente con experiencias sobre  hechos u objetos.

Resalta asimismo que, el material aprendido de forma significativa es mucho más  resistente al olvido, además de que la transferencia es  favorecida.

Diferencia el  Aprendizaje Significativo por recepción,  cuando se le da al estudiante el contenido a aprender, del aprendizaje por descubrimiento, que se produce cuando el alumno tiene que buscar las reglas, conceptos, y procedimientos del tema a asimilar.

D. Ausubel desarrolla toda una teoría sobre la interiorización o asimilación a través de la instrucción de los conceptos verdaderos, que se construyen a partir de conceptos previamente formados o descubiertos por el niño en su entorno. Él pone el acento en la organización del conocimiento en estructuras  mentales y en las reestructuraciones que se producen debido a la interacción de esas estructuras presentes en el sujeto con la nueva información. (Aguirre, 1995)

Los autores mencionados,[PAG1]  al caracterizar el Aprendizaje Significativo,  concuerdan en los aspectos siguientes:

·      Es necesario partir de considerar las ideas previas de los alumnos  con la intención de enlazarlas  con  los nuevos conocimientos.

·      Resaltan el papel de la motivación

·      El nuevo conocimiento debe construirse, no es correcto dárselo de forma acabada a los alumnos, lo que presupone un papel activo de ellos en el proceso de aprendizaje..

·      Es importante relacionar el nuevo contenido con sus experiencias.

En cambio, en las caracterizaciones de Aprendizaje Significativo anteriormente mencionadas no se hace referencia a :

·      La necesidad de hacer consciente al alumno de lo que va a estudiar, o sea el papel de la orientación hacia el objetivo en el proceso de enseñanza - aprendizaje.

  Estos autores plantean partir de los conocimientos previos de los alumnos, de motivarlos al presentarles una situación la cual no puede ser resuelta con éstos y pasan a la construcción del nuevo conocimiento, obviando el momento de precisar qué se va a estudiar.

·      La fijación del conocimiento ya construido o elaborado.

 No queda claro si el empleo del término de aprendizaje entre los autores referidos cubre todo el proceso de elaboración del conocimiento. Este hecho,. visto en un contexto didáctico, contempla dos momentos bien diferenciados: la construcción o elaboración del conocimiento y el de su fijación. Consideran la fase de la fijación del conocimiento sólo en el momento de la construcción del contenido con la participación activa del estudiante, no se alude a una actividad posterior a través de una ejercitación.

·      No se ofrecen suficientes recomendaciones didácticas de cómo conducir el proceso de construcción del nuevo conocimiento, sobre la base del Aprendizaje Significativo.

En la tradición pedagógica cubana, aunque no hay una referencia explícita al Aprendizaje Significativo, si se hace alusión a la importancia de darle significado a los conceptos aritméticos. Esto se aprecia en planteamientos como el siguiente : “La comprensión del sentido de la Aritmética no se logra aprendiendo hechos aislados, sin relacionarlos con otros hechos que robustecen y amplían su significado”. (Escalona, 1959)

Asimismo se manifiesta que : “Esclarecer el sentido de la Aritmética es, también, hacer que el niño descubra los significados de las operaciones”. (Escalona, 1959)

Explica la Dra. Escalona que, para que esto ocurra se debe partir de situaciones reales que permita poner de manifiesto el significado de la operación, y además, trabajar con el material concreto apropiado. Después que se haya comprendido el significado se prescinde del material objetivo, se trabaja con los números y se introduce la simbología correspondiente.  Además, se deben relacionar las operaciones unas con otras.

Con posterioridad, una de las discípulas más destacadas de la Dra. Escalona fundamenta la comprensión del significado apoyándose en  preceptos como los siguientes:

“Principio psicológico : La comprensión es uno de los aspectos más importantes de la actividad racional y es básica en todo aprendizaje. Comprender algo equivale a conocer su significado.

“Principio pedagógico : Todo aprendizaje debe basarse en la comprensión del significado de lo que se aprende. La comprensión debe preceder al uso de todo conocimiento.

“Aplicación metodológica : La más importante de las premisas que ofrecen las nuevas técnicas... es la que sustenta este principio : la comprensión de los significados debe preceder al uso de los símbolos”. (Ruiz, 1965)

De forma análoga fundamenta el papel de la práctica  basándose en los siguientes postulados

“Principio psicológico : La práctica es el principio y el fin de toda actividad racional. Partiendo de la práctica el individuo vuelve a ella aplicando en la vida aquello que ha obtenido como resultado del pensamiento.

“Principio pedagógico : La enseñanza debe partir de la práctica, de la actividad concreta y debe asimismo culminar en la práctica consciente, en aquella en que los alumnos aplican inteligentemente los conocimientos adquiridos.

“Aplicación metodológica : Todo aprendizaje se realiza a través de actividades prácticas. El niño aprende a contar y a sumar, manipulando objetos ; aprende el proceso de la operatoria con números enteros, efectuando prácticas con el tablero de números ; aprende el significado de las operaciones con quebrados, haciendo gráficos. Además todo conocimiento adquirido se aplica conscientemente en ejercicios, en mediciones, en problemas, en actividades prácticas de la vida real.” (Ruiz,1965)

Aunque se habla de aprender con sentido o con significado,  de partir de una situación relacionada con la práctica, de obtener el conocimiento a través de la actividad del alumno con los objetos, y de relacionar los nuevos conocimientos con los anteriores, no se declara explícitamente una caracterización de esta forma de aprendizaje que le llaman con sentido o significado, menos aún se expone una propuesta didáctica acabada..

De modo que, ni son suficientes las proyecciones de los iniciadores del Aprendizaje Significativo, en cuanto a la viabilidad didáctica de las caracterizaciones aportadas, ni se encuentra ésta entre los trabajos de pedagogos cubanos que han insistido en un acercamiento a un proyecto didáctico semejante.

Por ello, esta autora determinó asumir en esta Tesis una definición de Aprendizaje Significativo,  que supere las limitaciones planteadas. Y es la siguiente :

El Aprendizaje Significativo  de la Matemática es aquel  que los alumnos realizan cuando el profesor de esta asignatura, tras partir de considerar los conocimientos previos relacionados con el contenido matemático que se va a elaborar, presenta una situación que no puede ser resuelta con dichos conocimientos,  provocando en ellos la necesidad de solucionarla, formula el objetivo correspondiente y presenta las actividades encaminadas a lograrlo, las cuales son resueltas con una amplia participación de los estudiantes. Ellos pueden finalmente asimilar el nuevo contenido matemático, integrándolos a los conocimientos previos que ya poseían, y aplicarlos en la resolución de  ejercicios.  La situación de partida presentada ha de ser tal que manifieste una estrecha relación con las aplicaciones prácticas de la Matemática, o con cuestiones históricas de su desarrollo como ciencia, o con otras asignaturas.

Como se planteó anteriormente, en las caracterizaciones de los autores referidos no queda claro si el término aprendizaje cubre todo el proceso de elaboración del conocimiento. En ese sentido,  la autora puntualiza que, aún durante la fijación, se debe reactivar la motivación y lograr que el alumno conozca qué tipo de ejercicios va a solucionar. Éstos deben ser atractivos, integradores, y además se deben combinar con el uso de técnicas participativas o juegos didácticos.

Para una mejor comprensión de la definición de Aprendizaje Significativo asumida, es conveniente declarar que se ubica éste como una de las formas desarrolladoras de enseñanza ; que se propone superar, por tanto, a la tan criticada y generalizada Enseñanza Explicativa - Ilustrativa.

Sin embargo, dentro de las formas desarolladoras de enseñanza difundidas en Cuba la que se asume en este trabajo es probablemente la de menor exigencia didáctica. Si bien tiene en común con la Instrucción Heurística y la Enseñanza Problémica el que se plantee una adecuada motivación, orientación hacia el objetivo, y una posición protagónica del alumno en la adquisición del conocimiento, no exige del profesor la utilización sistemática del principio de las exigencias decrecientes, ni necesariamente el empleo del principio de la problemicidad de la enseñanza. En el Aprendizaje Significativo las recomendaciones del profesor a los alumnos son más sugerentes y la motivación no requiere  de un elevado esfuerzo mental para su compresión.

1.2.- Fundamentos teóricos del Aprendizaje Significativo.

Varios autores coinciden en destacar que la fundamentación de una propuesta didáctica se debe apoyar en los presupuestos teóricos de las disciplinas que aportan a la ciencia de la Educación.

En este sentido la autora se alinea con el criterio de que se deben considerar para la Educación Matemática cuatro pilares fundamentales, las aristas: gnoseológicas, psicológicas, pedagógicas y matemática. (Torres, 1997 )

El Aprendizaje Significativo es el resultado del intento de llevar a la escuela un paradigma básicamente psicológico. Sus precursores no establecieron explícitamente posiciones filosóficas referidas a la adquisición del conocimiento, aunque su alineación cognitivista y humanista presupone una inclinación por el idealismo subjetivo.

Los fundamentos gnoseológicos que asume esta autora para la asimilación del Aprendizaje Significativo tal y como ha sido definido en esta tesis, se centran en la  Teoría del Conocimiento del Materialismo - Dialéctico; en el reconocimiento  del  Principio del  Reflejo y  de la Dialéctica Subjetiva.

El reflejo es una propiedad general de la materia. En el caso del reflejo cognitivo es el resultado de la incidencia de los objetos y fenómenos sobre los sentidos del hombre, con la reelaboración analítico - sintética de las sensaciones y percepciones recibidas como consecuencia de la acción de los excitantes externos. (Rosental y Judin., 1973)

Para el Materialismo - Dialéctico e Histórico los fenómenos psíquicos no son el producto del recibimiento pasivo de las influencias externas que están actuando sobre el individuo, sino que  éstos surgen como resultado  de la actividad cerebral  que da respuesta a ellas, y que provocan una interacción entre el sujeto y el mundo material, condicionando la actividad cognoscitiva  del hombre.

El conocimiento no se produce de forma inmediata, ni directa, pues la acción de los estímulos externos queda mediatizada por la actividad de respuesta del cerebro. El conocimiento del objeto se produce a través de una marcada actividad analítico - sintética; se genera así un sistemático y creciente restablecimiento mental  del objeto, lo que conduce al reconocimiento de sus características esenciales, y por tanto a su conocimiento. Ello no entra en contradicción con la caracterización asumida de Aprendizaje Significativo. El mismo presupone una intensa actividad personal del alumno, orientada por el profesor, con el fin de establecer relaciones entre los nuevos conocimientos y los ya integrados en su estructura cognitiva,.    

Para D.Ausubel, los nuevos significados no son los contenidos presentados y ofrecidos en el aprendizaje, sino que son el producto de un intercambio, de una fusión., ya que los significados se generan en la interacción de la nueva idea o concepto potencialmente significativo, con las ideas pertinentes, ya poseídas por el alumno de su estructura cognitiva. (Aguirre, 1995)

Otro elemento importante a considerar en la Teoría del Conocimiento es que el proceso de adquisición del mismo no es ajeno a errores y fracasos, de ahí la consideración de la extensión de las leyes de la dialéctica a este tipo de actividad. Como plantea (Torres, 1994): "En él (conocimiento), las condiciones objetivas se refractan a través de condiciones internas siempre nuevas, que sitúan constantemente al individuo ante la contradictoria situación de necesitar saber más y disponer de un nivel de conocimiento real inferior al requerido."

Estas apreciaciones se hayan en correspondencia con la concepción de Aprendizaje Significativo asumida, toda vez que en éste se parte de los conocimientos ya asimilados por los alumnos,  al mismo tiempo se les hace sentir la insuficiencia de éstos para resolver nuevas situaciones, la necesidad de mejorarlos y la posibilidad de hacerlo apoyándose en los conocimientos anteriores.  .

El Aprendizaje Significativo tiene como fundamento psicológico el  enfoque cognitivista. Entre los rasgos esenciales de éste paradigma se pueden mencionar:

·      El reconocimiento del carácter activo de los procesos cognitivos; o sea, el hecho de que todo conocimiento es el resultado de la búsqueda y acción del sujeto sobre su entorno, y no puede concebirse como una mera transmisión desde "fuera".

·      La comprensión del aprendizaje es fundamentalmente racionalista, parte de los datos sensoriales, pero no se reduce a la relación de éstos, sino que los trasciende.

·      Reconoce como algo esencial el papel de los conocimientos previos que los alumnos poseen para ser utilizados como apoyo en el nuevo aprendizaje.

·      Considera el papel que desempeña la motivación en el desarrollo exitoso de la actividad cognoscitiva Lo óptimo es que la motivación esté dirigida por aspectos internos y no por resortes externos.

Existen varios enfoques psicológicos que tienen implicación en la Educación, se destacan: el Conductivismo, el Cognoscitivismo, el Humanismo, la Psicología Genética, y la Escuela Socio - Cultural;  de cada una de ellas se desprenden implicaciones didácticas específicas.

Todos éstos enfoques reconocen el papel de la actividad  del alumno en el proceso de instrucción y el papel de la motivación en el aprendizaje;  sin embargo,  los valoran desde diferentes puntos de vista.

El Conductivismo considera que el estudiante debe  actuar para poder aprender, pero esta actuación debe estar inducida por medio de reforzadores e instigadores, y que éstos deben ser positivos y no aversivos o negativos. En cuanto a la motivación plantea que ésta debe ser extrínseca, o sea, marcadamente inducida por factores externos.

Los Humanistas consideran también que el estudiante aprende a través de  la actividad. Ahora bien, para ellos la actividad debe estar centrada en los intereses y vivencias de los alumnos. Consideran que la motivación por el estudio debe ser intrínseca, determinada por las necesidades de los propios alumnos.

La Teoría Genética, al igual que los demás enfoques, resalta el papel de la actividad en el aprendizaje; en este caso la actividad cognitiva es organizada no sólo para acumular información sino, sobre todo, para desarrollar las operaciones mentales del alumno. Reconocen que la motivación debe ser intrínseca,  y para ello el profesor debe promover conflictos cognoscitivos.

Para el Enfoque Socio - Cultural, el aprendizaje a través de la actividad es fundamental, y ésta debe  estar preferentemente dirigida hacia la zona de desarrollo próximo del alumno. 

Por otra parte,  para el Cognitivismo el aprendizaje es un proceso dinámico, activo, e interno; un  cambio que ocurre con mayor medida cuando lo adquirido previamente apoya lo que se está aprendiendo.

La autora asume, para su afiliación con el Aprendizaje Significativo en esta Tesis, aquellos rasgos del Cognitivismo que se asemejan a las posiciones básicas de la psicología de orientación marxista - leninista, en correspondencia con su posición gnoseológica; especialmente a las referidas al reconocimiento del papel de las influencias socio - culturales y de la unidad de lo afectivo y lo cognitivo en la formación de la personalidad del individuo.

Los fundamentos pedagógicos del Aprendizaje Significativo están dados por principios didácticos de la Pedagogía Contemporánea; especialmente el principio de "la vinculación de la teoría con la práctica", al plantearse que se deben presentar al niño situaciones que fundamentalmente estén relacionadas con su entorno, con otras asignaturas, etc. .

También se relaciona de manera especial con el principio "del carácter consciente y activo del aprendizaje", ya que al alumno se le debe precisar qué va a estudiar, y él debe participar activamente en la construcción del conocimiento. En el Aprendizaje Significativo la actividad del alumno debe  estar orientada siempre hacia el objetivo que se desea lograr.

Como en este tipo de aprendizaje las actividades que se presentan deben estar adecuadas a la edad de los estudiantes, a sus conocimientos previos y a sus motivaciones, se puede además reconocer una vinculación con el principio de "la asequibilidad de la enseñanza".

Las situaciones de partida deben ser tomadas también de datos relacionados con los avances científicos, económicos y sociales, donde se ponga de manifiesto la importancia de la Matemática para su solución, y la elaboración del nuevo conocimiento ha de realizarse de acuerdo con el rigor que presupone esta ciencia. Por todo ello, esta forma de aprendizaje reconoce el papel del principio "del carácter científico de la enseñanza."

 El principio de la "sistematicidad de los conocimientos" se relaciona con este enfoque dado que en el mismo se exige  partir de los conocimientos previos de los estudiantes y realizar la construcción  del nuevo contenido relacionándolo con los conocimientos anteriores, de manera lógica.

Además, en este proceso de construcción se deben tener presentes los intereses del colectivo y los de cada estudiante, sus iniciativas y aspiraciones, por lo que también se pone de manifiesto durante su desarrollo el principio "de la vinculación de lo individual y de lo colectivo."

A través del Aprendizaje Significativo se pretende que el estudiante asimile de forma consciente los contenidos, esto presupone la utilización por parte de los alumnos de los conocimientos adquiridos en el acto de aprender, limitando de esta forma el olvido. Aquí también se manifiesta el reconocimiento del principio "de la solidez de los conocimientos."

Estas relaciones, vistas desde un plano  general, pueden ser analizadas también desde un plano más específico, como el del trabajo con las funciones didácticas. 

Se tiene así que la realización del Aseguramiento del Nivel de Partida se pone de manifiesto en el Aprendizaje Significativo cuando se le exige al profesor partir de determinar las condiciones previas de los estudiantes para el estudio del contenido que se va a elaborar, y proceder en consecuencia, reactivando el saber y el poder necesarios.

Igualmente, es una exigencia didáctica del Aprendizaje Significativo el presentar una situación de partida relacionada con las aplicaciones de la Matemática con la vida, o con otras asignaturas, o con el uso de las cuestiones históricas, haciendo visible la insuficiencia para resolver ésta situación. Este proceder se corresponde con  la función didáctica Motivación.

También es importante para el Aprendizaje Significativo que el alumno se sienta orientado hacia el propósito a lograr, hacia donde estará encaminada su actividad; esta acción se considera como una manifestación de la Orientación hacia el Objetivo, aunque no se trabaje en función de reflexionar acerca de cómo se  habrá de proceder para alcanzar lo que se desea lograr.

El Tratamiento de la Nueva Materia en el Aprendizaje Significativo se caracteriza por el planteamiento sistemático de actividades a los alumnos con carácter desarrollador, ya que estas exigen un protagonismo del alumno al trabajar con el contenido de enseñanza.

De una manera más puntual, la concepción del papel del maestro en esta teoría consiste en que el  rol de éste no es el de transmitir conocimientos, sino fomentar el desarrollo y la práctica de los procesos cognitivos del alumno. Su función principal es la de identificar los conocimientos previos que los alumnos tienen acerca del tema, para relacionarlos con los que va aprender. Debe procurar  además que la clase sea amena y atractiva.

Cuando en esta forma de aprendizaje el profesor ilustra lo estudiado a través de ejercicios representativos, se hace un resumen de los aspectos más relevantes y se planifican clases donde se proponen ejercicios variados, se realizan juegos didácticos, o se utilizan técnicas participativas, se está poniendo de manifiesto el trabajo con la función didáctica Fijación.

El Aprendizaje Significativo, como proyecto didáctico, no desconoce tampoco la actividad del profesor en función de la Aplicación y el Control y la Evaluación de los conocimientos asimilados por los estudiantes.

Finalmente, se analizarán los fundamentos epistemológicos del Aprendizaje Significativo de la Matemática. Hay que partir de recordar que el origen de esta ciencia se remonta a miles de años atrás, prácticamente a la par del  de las primeras  civilizaciones humanas.

Al principio constituyeron conocimientos empíricos y experimentales, y después de varios siglos llegó a ser una ciencia deductiva. El carácter deductivo de ella se manifiesta porque cada una de las teorías que la integran se desarrollan sobre la base de un grupo reducido de conceptos fundamentales (conceptos básicos), y de proposiciones que se consideran verdaderas (axiomas); obteniéndose de ellos nuevos conceptos y proposiciones, cuya validez  sólo es posible mediante una demostración matemática.

Sin embargo, este carácter marcadamente deductivo no debe conducir a pensar que su desarrollo y ampliación sólo ha sido posible a través de ese método. La historia de la Matemática contiene innumerables ejemplos relacionados con el uso de la intuición y la búsqueda inductiva en su crecimiento  y desarrollo.

La autora asume a la Matemática como una ciencia no acabada sino en permanente desarrollo, donde son válidos e igualmente útiles tanto el método deductivo como los reductivos. En ese sentido concuerda con G.Polya cuando señala: "...las matemáticas presentan dos caras: por un lado son la ciencia rigurosa de Euclides, pero también son algo más. Las matemáticas presentadas a la manera euclideana aparecen como una ciencia sistemática, deductiva; pero las matemáticas en vía de formación aparecen como una ciencia experimental, inductiva." (Polya, 1986) 

1.3.-Ventajas del Aprendizaje Significativo.

En correspondencia con los aspectos que caracterizan el Aprendizaje Significativo, y con sus fundamentos teóricos, se plantearán las ventajas que produce la aplicación de éste enfoque. Éstas son las siguientes:

·      Se logra que los alumnos no sientan temor por  el estudio de lo nuevo, pues  al maestro determinar con antelación los conocimientos previos que ellos poseen puede realizar un trabajo con los que tienen dificultades, logrando  de esta forma  que estos estudiantes  tengan una mayor confianza en sus posibilidades para aprender.

·      Se logra una mayor motivación hacia el estudio de la Matemática, al presentarle a los alumnos situaciones interesantes relacionadas con su entorno; de modo que ellos la vean como una asignatura útil, agradable, e interesante.

·      Contribuye al desarrollo de las habilidades matemáticas, pues conjuntamente con lo anteriormente planteado, el alumno participa activamente en la elaboración del conocimiento. Además,  en la  fase de fijación se trabaja de nuevo con el conocimiento previo en el caso de que hayan alumnos que aún presentan dificultades. También se exige que la ejercitación sea variada, que se usen técnicas participativas, juegos, etc.

·      Le plantea al alumno un menor nivel de exigencia intelectual que la Instrucción Heurística y la Enseñanza Problémica; las tareas que se le presentan al estudiante en la elaboración del contenido son menos exigentes, se le precisa lo que tiene que ir haciendo de modo que los impulsos, por lo general, son más sugerentes en cuanto a lo que él tiene que hacer. Esto da más posibilidades de participación en el aprendizaje a los alumnos de medio y bajo rendimiento académico.

·      Le plantea al profesor un menor nivel de exigencia de elaboración didáctica que la Instrucción Heurística y la Enseñanza Problémica, aunque es siempre mayor que en la Enseñanza Explicativa - Ilustrativa, pues requiere de la elaboración de una adecuada motivación y del logro de la participación activa de los alumnos en la apropiación y fijación de los nuevos conocimientos.

1.4.- Limitaciones del Aprendizaje Significativo.

No hay ninguna metodología absolutamente eficiente. Por tanto, como plantea (Torres, 1996) "...Hay que evitar la impresión de absolutización que dan algunos autores, que tratando de difundir sus proyectos, parecen rechazar cualquier otra variante metodológica. Justamente lo que necesitan los profesores son alternativas didácticas de donde puedan elegir de acuerdo con las características de sus grupos docentes, el nivel de desarrollo de sus habilidades profesionales, y las particularidades de la unidad de enseñanza que están desarrollando."

Teniendo en cuenta lo anteriormente planteado, se reconocen para el Aprendizaje Significativo las limitaciones siguientes:

·      El tiempo para que el alumno trabaje en la obtención del nuevo contenido es mayor que en la Enseñanza Explicativo - Ilustrativa.

·      No es recomendable el empleo sistemático de éste en estudiantes del período de la edad juvenil, puesto que en esta etapa ocurre una mayor estabilización de los motivos, intereses y puntos de vista propios de los jóvenes, lo que les permite ser más independiente en relación con lo que le rodea.

·      En muchas ocasiones es difícil para el profesor la elaboración de los ejemplos que serán presentados en la situación de partida, teniendo en cuenta las exigencias formuladas para ellas, pues no siempre el contenido de enseñanza es propicio para ello o no se dispone de la bibliografía adecuada.

·      Hay una menor contribución al desarrollo del pensamiento creador de los alumnos, en comparación con lo que lograría con la Instrucción Heurística y la Enseñanza Problémica.

1.5.- Exigencias y estructura del Programa de Matemática para la Secundaria Básica.

A grandes rasgos se puede caracterizar las exigencias del Programa de Matemática para la Secundaria Básica de la siguiente manera (MINED, 1987):

·      Reconocer los dominios numéricos (hasta los números reales), las reglas fundamentales del cálculo numérico, los procedimientos del tecnicismo algebraico y de resolución de ecuaciones hasta de segundo grado, el concepto de función y las propiedades de las funciones elementales, así como las figuras y cuerpos geométricos y sus propiedades fundamentales. En este sentido, es importante que los alumnos vinculen estos conocimientos con situaciones  de la vida práctica, aplicaciones a otras ciencias, y en general a la resolución de problemas.

·      Comprender definiciones y el papel que desempeña el pensamiento matemático y lógico en general. Esto presupone que los alumnos puedan por sí mismos formular definiciones de los conceptos matemáticos fundamentales.

·      Comprender la necesidad de fundamentar afirmaciones y, cuando sea posible, demostrarlas, así como que reconozcan el papel fundamental de las demostraciones en el pensamiento matemático. Aquí se plantea que los alumnos sean capaces de reproducir demostraciones que ocupan un lugar central en el curso de Matemática, que aprendan métodos simples de fundamentación y que comiencen a desarrollar la capacidad de demostrar en forma independiente.

·      Comprender los procedimientos algorítmicos incluidos en el curso, familiarizarse con la construcción de algoritmos sencillos, y en particular el uso de tablas y formularios, y que reconozcan las ventajas de su uso. Además, se plantea la iniciación en la utilización de medios heurísticos de pensamiento.

·      Aplicar sus conocimientos matemáticos a la resolución de problemas prácticos, incluyendo la traducción del lenguaje común al algebraico, según los conocimientos de las operaciones y transformaciones con variables.

En correspondencia con estos objetivos están representadas en la Secundaria Básica las siguientes líneas directrices:

*      Dominios numéricos:

·      Números racionales, propiedades y cálculo numérico.

·      Números enteros.

·      Reconocimiento de los números irracionales y reales.

*      Cálculo con magnitudes y valores aproximados.

·      Reconocimiento y aplicación de las reglas fundamentales del cálculo con magnitudes y de las unidades básicas del S.I.

·      Realizar estimaciones de los resultados.

*      Ecuaciones e inecuaciones. Sistemas. Optimización lineal.

·      Procedimientos para la resolución de ecuaciones de primero y segundo grado.

*      Correspondencia, transformación, función.

·      Conceptos de función lineal y cuadrática.

·      Propiedades y representación gráfica.

*      Geometría.

·      Figuras planas y cuerpos geométricos fundamentales.

·      Propiedades de las figuras planas.

·      Cálculo de perímetros, áreas y volúmenes.

Además de estas líneas directrices, se tienen en cuenta aspectos relacionados con la que tienen que ver con la terminología y simbología matemáticas (aspectos lógico - lingüísticos, trabajo con variables, etc.), con las capacidades matemáticas específicas (trabajo con variables, matematizar problemas extramatemáticos, y trabajo algorítmico) y la educación de los alumnos.

Se infiere del análisis de los objetivos y contenidos del Programa de Matemática del nivel medio básico que no es predominante el planteamiento de elevados niveles de exigencia en la asimilación del contenido. También se observa una tendencia a vincular los contenidos matemáticos con la práctica y la existencia de una estrecha relación entre los distintos complejos de materia, aspecto éste último que posibilita la vinculación de los nuevos conocimientos con los previamente asimilados.

En general, puede apreciarse que la estructura del Programa de Matemática del nivel medio básico es apropiado para la utilización del proyecto didáctico aquí definido como Aprendizaje Significativo.

1.6.-Particularidades psicológicas de los alumnos del nivel medio básico.

Al valorar la concreción de esta propuesta metodológica en la Secundaria Básica es necesario también tener presente las particularidades psicológicas del escolar que se encuentra en ese nivel de enseñanza. (MINED, 1989)

Relacionado con ello se destaca la presencia en el adolescente de transformaciones corporales, la maduración sexual, el agotamiento intelectual y físico relativamente rápido, y la tendencia hacia una tensión nerviosa prolongada.

En cuanto a los procesos cognitivos, en esta etapa la escuela y el estudio ocupan un lugar importante; sin embargo, el atractivo del ingreso a la escuela y el alcanzar buenas notas van quedando atrás.

Se puede señalar también el desarrollo, en un nivel más alto que en la niñez, de la capacidad de operar con conceptos y contenidos más abstractos, al igual que el razonamiento verbal y las formas lógicas del pensamiento.

La adolescencia marca el momento donde se tiene la capacidad de combinar relaciones, lo que le permite al alumno tener en cuenta  varias hipótesis simultáneamente, valorar las consecuencias de las acciones y sus productos con una visión más crítica y relativamente más ajustada a la realidad.

Esta visión  se manifiesta a más largo plazo en la esfera intelectual al resolver problemas de la vida cotidiana, además en el poder clasificar hechos y el descubrir nexos y dependencias.

En cuanto al desarrollo social y afectivo, se señala que el grupo preferido es el de los compañeros de la misma edad, lo que responde a una fuerte necesidad de comunicación.

Se plantea que se ha detectado, en investigaciones realizadas en Cuba (MINED, 1989), que la comunicación profesor - alumno se limita a los problemas de carácter docente y de disciplina, quedando al margen otros asuntos de interés que le preocupan a los alumnos de esta edad.

También el adolescente interactúa con la familia y el grupo de profesores de la escuela a la que asiste, lo que hace necesario analizar la actividad que él realiza en cada uno de estos grupos, las exigencias que se le plantean y el tipo de relación que caracteriza su desenvolvimiento en ellos, ya que de esto dependen sus experiencias.

De todo lo visto se puede resumir que en esta etapa el estudiante necesita que se le motive, sobre todo con cuestiones relacionadas con su entorno, sus experiencias y vivencias, para que no pierda su interés por el estudio y no sienta aburrimiento, así como también que realice actividades relativamente intensas,  con el objetivo de desarrollar sus capacidades intelectuales.

Como se aprecia, una parte importante de los rasgos psicológicos del adolescente se ajustan a las características y exigencias del proyecto didáctico que es objeto de estudio.

1.7.- Conclusiones del Capítulo.

Después de haber abordado los aspectos generales de la teoría del Aprendizaje Significativo  y el contexto psico - pedagógico en que se pretende sea utilizado, se arriban a las siguientes conclusiones parciales:

·      Es posible identificar un modelo didáctico denominado Aprendizaje Significativo, que es aquel que los alumnos realizan cuando el profesor, tras partir de considerar los conocimientos previos relacionados con el contenido que se va a elaborar, presenta una situación que no puede ser resuelta con dichos conocimientos, provocando en ellos la necesidad de solucionarla, y tras realizar las actividades que le son presentadas con una amplia participación de su parte, pueden finalmente asimilar de manera integrada a los conocimientos previos que ya poseían. La situación de partida presentada ha de ser tal que manifieste una estrecha relación con las aplicaciones prácticas de la Matemática, o con cuestiones históricas de su desarrollo como ciencia, o con la vinculación con otras asignaturas.

·      Este tipo de aprendizaje puede ser desarrollado sobre la base de los siguientes presupuestos teóricos:

*      la Teoría del conocimiento del Materialismo Dialéctico - Histórico,

*      los postulados de la Psicología Cognitivista que coinciden con las posiciones básicas de la Psicología de orientación marxista - leninista,

*      los Principios y Funciones Didácticas de la Pedagogía Contemporánea, y

*      la concepción de la Matemática como una ciencia en construcción, en cuyo desarrollo tienen espacio tanto el método deductivo como los reductivos.

·      A este proyecto metodológico le son atribuibles tanto ventajas como limitaciones que deben ser tenidas en cuenta para la decisión de su aplicación a la práctica escolar.

·      Los objetivos y contenidos del Programa de Matemática para la Secundaria Básica presentan características favorables para la utilización de este enfoque didáctico.

·      En las particularidades psicológicas de los adolescentes se presentan rasgos que potencian la instrumentación del Aprendizaje Significativo en el nivel de enseñanza correspondiente.

Capítulo 2: Propuesta de estructuración del Aprendizaje Significativo en la enseñanza de la Matemática.

Después de dar respuesta a las dos primeras preguntas científicas, se procederá a dar solución en este capítulo a las problemáticas referidas a cuándo y cómo utilizar el Aprendizaje Significativo en la apropiación de los conocimientos matemáticos del nivel medio básico.

2.1.-Recomendaciones acerca de cuándo utilizar el Aprendizaje Significativo.

Teniendo en cuenta que la utilización de los métodos de enseñanza depende, además de los objetivos y los contenidos, de las condiciones de enseñanza (Torres, 1996), la instrumentación de los mismos debe estar precedida de una fase de reflexión entorno a la conveniencia o no de utilizarlos.

Considerando lo analizado en el capítulo anterior alrededor de esta situación, se ha arribado a las siguientes consideraciones:

·      tener en cuenta la edad de los alumnos, o grados de la enseñanza media.

En cuanto a la edad de los alumnos, cabe decir que no sería conveniente  su utilización sistemática en la enseñanza preuniversitaria,  ya en ésta los estudiantes, por lo general, tienen decididas sus aspiraciones, y no se hace necesario sobre todo, la elaboración de situaciones de partida con los requisitos ya expuestos.

En cambio, en los niveles de primaria y secundaria los alumnos pierden relativamente rápido el interés en la clase, se aburren fácilmente, a lo cual ayudaría el manejo de situaciones sobre las cuales ellos tienen experiencia.

·      Se debe aplicar preferentemente en grupos donde existan dificultades con el aprendizaje de la asignatura, o que no sientan motivación por su estudio.

Es recomendable la utilización del Aprendizaje Significativo en grupos de alumnos que tengan dificultades en Matemática, al punto inclusive de haber provocado un rechazo hacia la asignatura, pues con esta propuesta se  puede lograr  motivarlos al presentarles ejemplos que tengan que ver, sobre todo, con problemáticas de su entorno. Además, como el nuevo conocimiento se elabora sobre la base de actividades relacionadas con el contenido anterior, el alumno toma conciencia de la necesidad de ir mejorando, y el maestro a su vez, va trabajando en favor de erradicar las dificultades.

·      Considerar si el contenido de enseñanza es propicio para ser  vinculado con situaciones de la vida, o con otras asignaturas, o con  cuestiones históricas relacionadas con la Matemática.

Como en la caracterización de Aprendizaje Significativo se insiste que se deben presentar situaciones vinculadas con la práctica, o con otras asignaturas, o con cuestiones históricas relacionadas con la Matemática,  es conveniente valorar si las unidades de enseñanza se prestan o no para establecer esa relación. 

Por ejemplo, de las unidades que componen el Programa de 7. grado se seleccionaron para la experiencia pedagógica la unidad de "Números racionales" y la unidad de "Geometría"; sin embargo, no se utilizó en la unidad de "Potencias", ya que no se pudo encontrar suficientes situaciones fácilmente relacionadas con la vida, o con otras asignaturas, o con el desarrollo histórico de la Matemática.

Tener en cuenta si el profesor no posee el nivel de desarrollo de las habilidades profesionales necesarias para emprender un trabajo con formas superiores de enseñanza desarrolladora (como la Enseñanza Problémica o la Instrucción Heurística ) , en cuyo caso es apropiado este enfoque, por ser didácticamente menos exigente.

El uso de la Instrucción Heurística y la Enseñanza Problémica exige del profesor el manejo de la técnica de preguntar y del empleo efectivo de los impulsos didácticos. En su lugar, el Aprendizaje Significativo no plantea demandas tan elevadas al profesor, lo que lo convierte en una alternativa viable para profesores noveles o que no poseen un considerable desarrollo de esas habilidades profesionales.

Para ejemplificar lo anteriormente referido se mostrarán a continuación las diferencias didácticas que entraña el tratamiento de una situación de enseñanza por la vía problémica y empleando el Aprendizaje Significativo.

Si al realizar el tratamiento metodológico del contenido "Propiedad de la mediatriz de un segmento" (Muñoz, 1989), concretamente el momento de obtener el teorema, utilizando el método problémico de Búsqueda Parcial se procedería de la forma siguiente (Torres, 1993):

( "P" significa: profesor; los paréntesis indican el decrecimiento de los impulsos empleados).

P:  En 5. grado estudiaron determinadas líneas notables, como la mediatriz de un segmento, la bisectriz de un ángulo, etc.

Por ejemplo, en el caso de la mediatriz de un segmento, conocemos que el punto de intersección con el segmento es el punto medio. Sin embargo, la mediatriz está compuesta por infinitos puntos. ¿Determinarán ellos también segmentos iguales con los extremos del segmento?

Investigaremos si esta condición es válida para los otros puntos de la mediatriz.

¿Cómo hemos procedido en casos similares? ( ¿Qué nos ha resultado particularmente útil cuando queremos determinar relaciones entre longitudes de segmentos o amplitudes de ángulos?)

(Se entrega una hoja de trabajo donde aparecen un  segmento y su mediatriz, y se miden las longitudes de los segmentos determinados por los puntos de ella y los extremos del segmento. Se plasman los resultados en una tabla.)

P:  Observen los resultados. ¿Qué parece ser que se cumple?.

      Ese es precisamente el teorema 1 de la página 73.

P: ¿Podemos considerar que hemos concluido nuestro trabajo con esta tarea?....¿Qué debemos hacer? (¿No es acaso conveniente reflexionar acerca de los recursos que nos posibilitó encontrar la solución?...¿Cuáles podemos destacar en este caso?

Este mismo ejemplo se tratará a continuación utilizando la propuesta de Aprendizaje Significativo:

El profesor comienza recordando el concepto de mediatriz estudiado en la asignatura de Dibujo Básico,  además que una recta está formada por infinitos puntos.

Conversa con los estudiantes acerca de la escuela al campo, de cómo la pasaron, cuántos campamentos tenía la escuela, etc.

Después les presenta la siguiente situación: Supongamos que los puntos A y B representan la situación de los dos campamentos agrícolas, y se quiere ubicar un punto de salida de la guagua de tal forma que éste esté ubicado a igual distancia de ambos campamentos. ¿Dónde estaría ubicada esa base?.

Se escuchan las opiniones de los alumnos, (la que predominará es la que debe estar situada la base en el punto medio) y se les plantea lo que se quiere averiguar en la clase.

Se les orienta trazar un segmento AB y su mediatriz, ubicar en ésta varios puntos, denotarlos y medir las distancias de éstos a los extremos del segmento. Después se les dice que comparen las distancias de cada punto a los extremos del segmento, y se les pregunta: ¿Cómo son esas distancias en cada caso?.

Les dice entonces que han llegado a una propiedad de la mediatriz de un segmento (Teorema 1, p.73 del libro de texto del grado).

Se retoma el ejemplo inicial y se reflexiona con los estudiantes que el punto medio no es el único que equidista de los extremos del segmento, sino que además todos los puntos de la mediatriz del dicho segmento. Por tanto el conocimiento anterior ( la propiedad de equidistancia del punto medio de los extremos del segmento) es un caso particular de la propiedad obtenida.

2.2 -Recomendaciones acerca de cómo aplicar el Aprendizaje Significativo.

La valoración acerca de cuándo debe ser utilizado el Aprendizaje Significativo, de acuerdo con los criterios señalados anteriormente, no son suficientes para realizar una estructuración adecuada de esta forma de enseñanza. Es necesario que el profesor sepa además cómo realizar ese trabajo. 

Teniendo en cuenta las reflexiones teóricas realizadas en el capítulo anterior, acerca de qué se entiende por Aprendizaje Significativo y cuáles son sus presupuestos teóricos, así como las valoración de las particularidades del Programa de Matemática para el nivel medio básico, es que la autora ha arribado a las siguientes recomendaciones metodológicas:

1.    Determinar los conocimientos previos de los alumnos que se encuentran estrechamente relacionados con los que se van a asimilar.

Para esta recomendación se ha tenido en cuenta primeramente la caraterización de Aprendizaje Significativo, la cual resalta que se debe partir de considerar los conocimientos previos que los alumnos ya poseen y que están relacionados con el conocimiento que se va a elaborar. Es así mismo válido lo manifestado en el capítulo anterior con respecto a la relación del Aprendizaje Significativo y las Funciones Didácticas, en este caso el Aseguramiento del Nivel de Partida. 

Por ejemplo, en el caso del concepto de orden de los números racionales los conocimientos previos vinculados con él son: el concepto de número racional, su representación en la recta numérica, la simbolización de situaciones con los signos "+" o "-" según lo convenido, el concepto de módulo o valor absoluto,  y el de orden de los números fraccionarios.

2.    Comprobar si los alumnos dominan esos conocimientos, y en el caso que tengan dificultades desarrollar actividades para su reactivación.

Y es que el Aseguramiento del Nivel de Partida, función didáctica a la cual está asociado estrechamente a la instrumentación del Aprendizaje Significativo, presupone el empleo del control para determinar si los alumnos poseen estos conocimientos y la reactivación del saber y el poder necesarios.

Siguiendo con el ejemplo anterior, se sugiere realizar una prueba para diagnosticar la situación en que se encuentran los alumnos en relación con los números fraccionarios; éste fue impartido  en quinto y sexto grados. El resto de los contenidos previos necesarios fueron recibidos por los alumnos en las clases anteriores, por lo que se pueden comprobar a través de una tarea (extraclase) o de preguntas de repaso.

3.    Planificar actividades orientadas a los alumnos que presentan dificultades.

Teniendo presente el Principio Didáctico relacionado con la vinculación del carácter individual y colectivo de la enseñanza, al cual se vincula este enfoque, se considera necesario  prestar una especial atención a las diferencias individuales de los estudiantes. Ésta no debe realizarse de manera formal, sino a través de la planificación de actividades encaminadas a la solución de las dificultades encontradas. Además, se debe tener presente que tales atenciones sean recibidas por aquellos estudiantes que más las necesitan.

Para ello, el profesor debe tener tabulados los errores más significativos de cada estudiante En el caso de que la  mayoría de los alumnos presenten dificultades con el dominio del contenido previo se deben prever clases especialmente dedicadas a reactivar esos conocimientos. El maestro, además de tener controladas las dificultades de cada alumno, debe ir controlando también su avance, para ello puede auxiliarse de alumnos aventajados y de los monitores.

Así se tiene que, antes de comenzar la experiencia en la unidad de "Números Racionales" de 7.grado  por ejemplo, se detectó que los alumnos presentaban serias dificultades en los contenidos relacionados con los números fraccionarios, recibidos en 5. y 6. grados. En este caso se requirió realizar un rediseño del programa por los problemas detectados en los estudiantes, aumentándose el número de clases previstas para la reactivación de esos contenidos.

4.    Elaborar la situación de partida, teniendo en cuenta que para esta forma de aprendizaje la misma debe estar vinculada con la práctica, o con otras asignaturas, o con el desarrollo histórico de la Matemática, de manera además que no puedan resolverla directamente con los conocimientos que ellos poseen.

Esta exigencia se establece considerando lo planteado en la caracterización de Aprendizaje Significativo, cuando se señala que el profesor debe presentar una situación de partida que no puede ser solucionada por los alumnos de forma inmediata, lo cual se haya además en correspondencia con  los Principios Didácticos de la Pedagogía Contemporánea, especialmente los referidos al carácter activo y consciente del aprendizaje, y el de la vinculación de la teoría con la práctica.

Por ejemplo, una situación de partida vinculada a otra asignatura (en este caso, la Historia)  que puede ser utilizada para la introducción del concepto de "Orden de los números racionales", es la siguiente:

El profesor orienta la actividad que se describe a continuación a los alumnos, la cual deben realizar utilizando el libro de texto de Historia de 7.grado.

Ordena cronológicamente los siguientes hechos históricos. Representa con el signo " +"  o "-" el año. ( Ya ellos conocen de la clase donde se introdujeron los números opuestos que los años correspondientes a la era moderna se relacionan con un número positivo, y a los de antes de ella con un número negativo).  

-Guerras Púnicas.                                                                               ( 264 ane )

-Reformas de Solón.                                                                         ( 594 ane )

-Sublevación de Espartaco.                                                             ( 137 ane )

-Descubrimiento de América.                                                          ( 1492 ne)

-Guerras Greco-Persas.                                                                      ( 500 ane)

-Caída de Imperio Romano.                                                            ( 476 ne )

             La respuesta  correcta sería:

Reforma de Solón.                                                                                (-594)

Guerras Greco-Persas.                                                                           (-500)

Guerras Púnicas.                                                                                    (-264)

Sublevación de Espartaco.                                                                  (-137)

Caída del Imperio Romano.                                                              (+ 476)

Descubrimiento de América.                                                              (+1492)

Otra situación que se le puede presentar a los estudiantes, en la se aplican conocimientos que ellos ya poseen y que  realizan a través de un juego, es la siguiente: 

(La ley asociativa de la adición de números racionales.)

Vamos a jugar, les hago una pregunta, por la primera respuesta correcta reciben 1 punto y por las siguientes que también lo sean recibirán uno más que la anterior, mientras que  por la primera respuesta incorrecta se les quitará 1 punto y las siguientes incorrectas uno menos que la anterior.

El alumno que participa puede obtener lo siguiente:

- respuesta 1: 1

- respuesta 2: 2

- respuesta 3: -1

 -respuesta 4:  -2

 -respuesta 5:   3

      - respuesta 6: -3

¿ Cómo calcular la cantidad de puntos que obtuvo?.(La respuesta esperada es 1+2+(-1)+(-2)+3+(-3)).

5.     Hacer visible la insuficiencia de conocimientos, que se manifiesta al no poder resolver la situación presentada con los contenidos que ellos ya poseen, y orientar a los alumnos hacia el objetivo.

En este caso se tuvo en cuenta el reconocimiento que hace el enfoque didáctico difundido del papel de las funciones didácticas: Motivación y Orientación hacia el Objetivo. En el primer caso se plantea la necesidad de partir de crear una contradicción cognitiva, lo cual puede lograrse al hacer consciente al alumno de la imposibilidad de resolver la situación presentada con los conocimientos que él ya posee. Con la Orientación hacia el Objetivo se da respuesta a la exigencia del carácter orientado de la actividad, el hecho de que difícilmente se tenga éxito en la realización de acciones cuyo fin y resultado estimado se desconocen.

Siguiendo con el ejemplo anteriormente presentado, los alumnos pueden realizar el ejercicio utilizando sus conocimientos de la  Historia; sin embargo, no pueden explicar por qué -594 (número que representa el año de las Reformas de Solón) es menor que  -137 (número que representa el año que ocurrió la sublevación de Espartaco). Por lo que se le explica que es necesario estudiar cómo ordenar números racionales, especialmente los negativos.

6.    El conocimiento se debe elaborar mediante la articulación del conocimiento anterior y el nuevo conocimiento, a partir de los actos y reflexiones del estudiante con los objetos o sus representaciones.

Se ha explicado que un rasgo esencial del Aprendizaje Significativo es la asimilación de los conocimientos de manera integrada al conocimiento anterior. Al decir de D.Ausubel, se logra "...cuando (el nuevo conocimiento) puede relacionarse de modo no arbitrario y sustancial con lo que el alumno ya sabe." (Aguirre, 1995)

Esto es particularmente importante en la instrucción de los adolescentes, puesto que: "la ausencia del grado necesario en el desarrollo de los intereses cognoscitivos por una parte, y la insuficiente preparación para el desarrollo de las formas abstractas del pensamiento por otra, pueden conducir y frecuentemente conducen al formalismo en la asimilación de conocimientos." (MINED, 1984)

Debe recordarse que esa asimilación formal del conocimiento, a la que tienden los adolescentes, consiste en la comprensión insuficiente de las ideas y conceptos, que se pone de manifiesto en el empleo de frases hechas y de expresiones sin un contenido real.

En el caso del ejemplo que se está siguiendo, se le formulan preguntas a los alumnos como las siguientes:

¿Qué hecho ocurrió primero?...  ¿Con qué número lo hiciste corresponder?...  ¿Cuál es entonces el menor?....

¿Qué números racionales  le seguirían según el ordenamiento realizado?....

Si tenemos que ordenar números racionales de menor a mayor, ¿por cuales tú comenzarías?... Y de ellos, ¿cuál sería el menor?....

Para posteriormente orientar la actividad siguiente:

Observen el orden realizado por ustedes y completen las siguientes frases:

- Los números negativos siempre son  ________________ que los positivos.

- Si comparamos dos números negativos es menor el que                 ____________ valor absoluto tiene.

- Si comparamos dos números positivos es menor el que ______________                valor absoluto tiene.

En el caso de que los alumnos no logren de primera intención asimilar el nuevo conocimiento, el profesor debe insistir con ayuda de situaciones similares.

En el ejemplo, si el alumno no entiende por qué -594 es menor que -264 se vuelve a retomar la situación de la cual se partió, se utilizan otros ejemplos, como el siguiente:

¿Dónde hay menor temperatura, en un frigorífico que tiene una temperatura de -3° o en uno que hay una temperatura de -6°? (De este modo los alumnos se pueden dar cuenta de que -6 es menor que -3)

7.    Fijar el nuevo contenido estudiado en la clase.

Se considera importante que el maestro, después de haber propiciado la obtención del nuevo conocimiento, plantee ejercicios para ilustrar cómo se aplica lo aprendido. Se trata de dar cumplimiento a la necesaria función didáctica de Fijación, y con ello contribuir a la concreción del principio de la solidez de los conocimientos.

Por ejemplo, en el caso del orden de los números racionales se puede comenzar con un ejercicio como el siguiente:

Representa las situaciones siguientes con los signos ( + ) o (- ) y ordénalas :

·       de menor a mayor.

·       de mayor a menor.

Ganar 15 pesos.

Gastar 135 pesos.

No tener dinero.

Ganar 22 pesos.

Gastar 3 pesos.

Se pueden realizar después los ejercicios 1 y 2 de la página 13 del Libro de Texto:

"1. Ordena los siguientes números racionales comenzando

                   1) por el menor                                   2) por el mayor.

                   a) -3; 2; -9; 0; -1; 17                           b) 2,3; -1,8; -0,9; -1,9; 0

                   c) -2/3; 3/2; -2; 0; -0,7            d) -2,5; 0; -2; 7/2; 4; -1/2

                   e) -1,75; -8; 1/10; 1; 0,5; -1,6             f) -3; -2,8; 0,2; -9/4; 3/2; -1

"2. Coloca en el espacio en blanco el signo de relación correspondiente

( <; =; >):

                   a)    0 _______ 3        b)    0 _______ -5       c)   2_______ -1

                   d)   -3 ______ -12      e) -1,8 _____ -1,9       f) 3/2 _____ 15/10

                   g) -1,6 _____ 1,6        h) 0,85 _____ 0,9       i) -3/4 ____ -2"

                   (Muñoz et al., 1989)

8.    Resumir los aspectos más importantes del contenido tratado, así como enfatizar la relación existente entre el nuevo contenido y los conocimientos previos.

El cumplimiento del principio didáctico de la solidez de los conocimientos y la materialización de las función didáctica fijación no concluye con una primera ejercitación, abarca también momentos de sistematización de los conocimientos que se vienen asimilando, entre otros aspectos; en la satisfacción de esa exigencia desempeña un papel importante, para el Aprendizaje Significativo, el análisis de la imbricación de los conocimientos previos y los recientemente asimilados.

Es decir, este paso del proceder metodológico del Aprendizaje Significativo realiza una función similar al de la fase de evaluación de la solución y de la vía en el proceso de Instrucción Heurística.

En el caso que se ha venido ilustrando, se analiza que si se conocen las fechas en que ocurrieron determinados hechos históricos, éstos se pueden ordenar teniendo en consideración el concepto de orden estudiado en esa clase, y no hay necesidad de recurrir al libro para recordarlo.

Se propone que en las clases de fijación, que siguen a la de apropiación de los nuevos conocimientos, los ejercicios sean variados y que se utilicen además juegos didácticos y técnicas participativas. Éstas están a tono con las particularidades psicológicas de los alumnos de esa edad.

Ejemplo de ejercicio relacionado con la práctica, y que se puede utilizar para fijar el significado de los  números racionales, es el siguiente:

Explica lo que significan los siguientes números racionales:

4 referido a los pisos de un edificio.

-7 referido a la temperatura de una ciudad.

-25 referido a la latitud geográfica de un punto.

8000 referido al balance de una empresa.

-5 referido al siglo de un acontecimiento histórico.

-36 referido al lugar donde se encuentra un buzo.

Para la fijación del concepto de orden de los números racionales se puede presentar un ejercicio como este:

Observa los puntos obtenidos en una competencia por los grupos de nuestra escuela:

7.1. -5

7.2.  6

7.3.  5

7.4.  0

8.5.  13.

8.6.   7

8.7.  -4

9.8.   10

9.9.  -8.

9.10. -7.

a) ¿Qué grupo está en mejor situación?

b)    Ordena los  grupos desde el que tiene situación más  favorable al que la tiene más desfavorable.

Hasta aquí los pasos metodológicos en el ejemplo. En ocasiones, en la fijación es posible utilizar otros procedimientos participativos.

Un ejemplo de ejercicio que se realiza sobre la base de un juego didáctico, y que a su vez se sistematizan las propiedades de los cuadriláteros puede ser el siguiente:

El profesor les dice a los alumnos: "Vamos a jugar, yo les digo una propiedad y ustedes me dicen los cuadriláteros que la cumplen".

a) Las diagonales se cortan en su punto medio.

                Respuesta: El paralelogramo, el rectángulo, el rombo y el cuadrado.

b) La suma de las amplitudes de los ángulos interiores es igual a 360° .

                Respuesta: Todos los cuadriláteros convexos.

c) Las diagonales son iguales.

                Respuesta: El rectángulo y el cuadrado.

d) Las diagonales son bisectrices de los ángulos cuyos vértices ellas unen.

                Respuesta: El rombo y el cuadrado.

e) Tienen un par de lados paralelos e iguales.

                Respuesta: El paralelogramo y el trapecio.

2.3.- Ejemplos de aplicación del Aprendizaje Significativo a la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico.

En este epígrafe se mostrarán algunos ejemplos de clases donde se aplica la propuesta de Aprendizaje Significativo, los cuales pueden servir de modelo para el profesor que le interese la aplicación de la misma.

Ejemplo 1: " Adición de números racionales con signos diferentes".

Para introducir el concepto de adición con signos diferentes se puede comenzar recordando cómo se obtuvo el procedimiento para adicionar números racionales con signos iguales. En ese caso se trabajó con cuadraditos que por un lado eran de color azul claro ( los negativos) y por el otro azul oscuro ( los positivos ) y se utilizó el concepto de adición;  después de obtenidos algunos resultados particulares  se llegaba al reconocimiento de la regularidad.

Por ejemplo, para calcular -3+(-2) con ayuda del material auxiliar se procedió de la forma siguiente:

Se colocaron primero tres cuadraditos de color azul claro, y a continuación otros dos del mismo color.

Considerando el concepto de adición, sobre la base del trabajo con conjuntos, se concluyó que el resultado sería "-5".

 

A continuación, se les presenta a los alumnos una situación como la que se describe a continuación:

Un automóvil recorre en la primera hora 7 km hacia el norte y en la segunda hora recorre 3 km pero en sentido contrario. ¿ A cuántos kilómetros el automóvil del lugar de origen?.

Los alumnos tratan de resolverla con los conocimientos que poseen, por lo que pueden llegar a plantear que la solución se obtiene cuando resuelvan la operación 7+(-3).

Sin embargo, ellos no saben realizar ese cálculo. Se les dice entonces que se estudiará la adición de números racionales con signos diferentes.

Se les orienta el trabajo con los materiales, al igual que en la clase anterior, y que procedan a realizar ese cálculo auxiliándose de los mismos. Ellos pueden colocar siete cuadraditos de color azul oscuro y a continuación tres cuadraditos de color azul claro; sin embargo, se dan cuenta que no pueden obtener el resultado contando, pues tienen diferentes colores.

En este momento el profesor les dice que uno positivo y un negativo se eliminan, y les muestra entonces como proceder en este caso. Los alumnos van trabajando a la par del maestro, o si algún estudiante lo quiere hacer independientemente se le da la oportunidad.

 

Se presentan otros ejemplos para que ellos lleguen al resultado utilizando el material. Al igual que en la clase anterior el profesor les hace ver la necesidad de llegar a obtener una regularidad, pues no siempre es conveniente el uso del material; por ejemplo, si se quiere calcular -345 + 23 no sería razonable su utilización.

Para llegar al procedimiento se pueden realizar las preguntas siguientes:

¿Cómo se obtiene el módulo del resultado de sumar o restar los módulos?.

¿El signo del resultado con el signo de cual de los sumandos coincide?.

Complete la frase siguiente:

Para adicionar números racionales con signos diferentes se -------------------- sus módulos y al resultado se le coloca el signo del sumando que ------------------módulo tiene.

Se resuelve el ejercicio 2, los incisos a,b,k,p, de la página 17 del Libro de Texto, a modo de ejemplos. (Muñoz et al., 1989)

Efectúa:

a) -4+7                                    k) -2,3+5,8

b) 6+(-7)                                 p) 3/10+(-6/5)

Se pregunta entonces:

¿Qué se estudió en la clase de hoy?... ¿Qué relaciones se pueden establecer entre la adición de números racionales con signos iguales y la de signos diferentes?.

Ejemplo 2: "Repaso sobre ángulos".

Se comenzaría presentándole a los alumnos un reloj (a través de una lámina ) y se les pregunta  que qué hora es. También se les puede ordenar que pongan en el reloj una determinada hora. Posteriormente se pasa a recordarles, a través de preguntas, el nombre de las manecillas del reloj y las funciones de cada una.

P: ¿Qué figura conocida por ustedes forman el horario y el minutero?.

P: ¿Qué es un ángulo?

Se señala entonces que en la clase se recordará lo estudiado por ellos acerca de los ángulos.

(Si algún alumno contestó correctamente la segunda  pregunta se toma su respuesta, de lo contrario el profesor, auxiliándose de la lámina, lo reactiva. También se recuerda, procediendo de forma análoga, cómo se denota un ángulo.)

Posteriormente se procede a recordar los tipos de ángulos según su amplitud, formulando las preguntas siguientes:

P: ¿Qué amplitud tiene el ángulo que se forma al ser las doce y quince minutos?.

La respuesta debe ser que el ángulo tiene una amplitud de 90° (en caso necesario se utiliza el cartabón para comprobarlo).

P: ¿Qué nombre recibe el ángulo de 90° ?

A lo que los alumnos contestan que: Ángulo recto.

Se procede de forma similar para recordar los ángulos: agudos, obtusos, llanos, y sobreobtusos.

Después, se resume la clase a través de preguntas como las siguientes:

Coloque el reloj en una hora de forma tal que el ángulo formado sea de:

a) 180°

b) 30°.

c) 60°.

d) 90°.

Diga en cada caso qué tipo de ángulo es según su amplitud.

Otro ejercicio a resolver en este momento pudiera ser:

En el siguiente triángulo :

a) Nombre los ángulos señalados.

b) Clasifíquelos según su amplitud.

          M

          19°

           N           130°       31°              P  

   

Ejemplo 3: "Teorema de igualdad de triángulos (l.a.l.)."

En la clase donde se va a obtener el teorema  se puede comenzar recordando cuándo dos triángulos son iguales. Ellos pueden responder que cuando superpuestos coinciden, o cuando existe un movimiento que transforme a uno en el otro, o cuando tienen respectivamente iguales todos sus lados y todos sus ángulos.

Se revisa la tarea orientada en la clase anterior, en la cual ellos realizan la construcción de un triángulo teniendo la medida de dos de sus lados y el ángulo comprendido; contenido que estudiaron en Dibujo Técnico, en la Unidad de "Construcciones Geométricas".

Utilizando una plantilla se comprueba que el triángulo construido con tales exigencias (dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales) es igual al original. El profesor aprovecha la tarea para preguntar:

¿Existirá una forma más racional de probar que dos triángulos son iguales?... En la clase se tratará de averiguarlo.

Probemos sólo con un lado respectivamente iguales. ( Se realiza la construcción y utilizando la plantilla se comprueba que no es posible). Se hace lo mismo pero con dos lados.

Después se analiza con los alumnos que, si además de los dos lados, se considera el ángulo comprendido, ¿qué sucederá?. Ya en la tarea se vio con un caso que sí era posible.

Se verán entonces otros ejemplos. ( Se les entrega una hoja de trabajo con tres triángulos dibujados y se les orienta que cada hilera realice la construcción de uno de ellos, teniendo en cuenta los elementos señalados). El profesor lleva las plantillas confeccionadas y se las entrega para que comprueben si las figuras son iguales.

P: De acuerdo con la actividad realizada, ¿qué elementos deben tener respectivamente iguales dos triángulos para ser iguales?.

Se resuelve entonces el ejercicio 3 de la página 64 del Libro de Texto de 7.grado

"En la figura 2.48:

a)Nombra los pares de triángulos iguales según el teorema lal.

b)Nombra los lados y los ángulos homólogos...." (Muñoz et al, 1989).               

Se concluye la clase resaltando lo que se aprendió, y que a partir de este momento se conoce una forma más fácil para determinar si dos triángulos son iguales, pues sólo es necesario comprobar la igualdad respectiva de dos lados y del ángulo comprendido.

Ejemplo 4: "Ejercicios de demostración de igualdad de triángulos".

(Se considerará que esta es parte de una clase donde se comienza a familiarizar a los alumnos con  las demostraciones de igualdad de triángulos.)

Se revisa la tarea, consistente en el ejercicio que aparece a continuación:

En la siguiente figura los elementos iguales están señalados con el mismo símbolo. ¿Qué elementos faltan para que:         ABC =       BDE?

             C                            E      

 

.              A               B                 D

           

 El alumno puede decir que: AC = ED o  < ABC = < DBE.

Se les plantea la pregunta siguiente:

¿Cómo ustedes le pueden demostrar a una visita que la escuela es modelo?.

Se escuchan las respuestas de los estudiantes, las cuales constituyen argumentos como:

·       Que la escuela se encuentre limpia.

·       Que se cumpla el reglamento.

·       Que la asistencia de alumnos y profesores sea buena.

·       Que las clases tengan calidad.

·       Que los resultados en las evaluaciones sean buenos, etc.

Es decir que la aceptación de un criterio requiere de argumentos que lo avalen, que lo justifiquen.

A continuación se les pregunta: ¿Cómo se puede demostrar que dos triángulos son iguales?

En este caso la respuesta sería: Si tienen dos lados y el ángulo comprendido respectivamente iguales, o si tienen respectivamente iguales sus tres lados, o si tienen respectivamente iguales un lado y los ángulos adyacentes a él.

 A lo que el profesor añade que:

 En la clase de hoy resolveremos ejercicios donde se tenga que demostrar la igualdad de dos triángulos.

Después plantea el ejercicio siguiente:

Ejercicio 1: Complete los pasos que faltan en la siguiente demostración.

En los triángulos ADC y BCD se cumple:                                                                 C                                                                    

1- AC=BC                       1- Por dato.

2.                                      2- Por dato.                           

3. DC=DC                       3- Por lado común.

4.       ADB=      BCD      4-                                                  A                 D            B

                                                                                 

Otro ejercicio a resolver podría ser el que aparece a  continuación:

En la siguiente demostración faltan algunos pasos que debes completar teniendo en cuenta la figura.

En los triángulos MNQ y NPQ se cumple:                   M                                    N

1.<  MQN= <QNP                   1. ----------------

2.-----------------------                  2. Por dato.          Q                                     P    

3.  QN=QN                             3. -----------------                        

4.            MNQ =           NPQ 4.                                

Si hay dificultades en algún paso, se formulan preguntas para ayudar a los alumnos a reflexionar. Por ejemplo, en el ejercicio anterior se puede preguntar:

 P: ¿Qué elementos están señalados en la figura?... ¿Cómo se puede justificar que el lado QN es igual al lado QN?.

Finalmente, se concluye la clase resaltando qué es una demostración, que en el caso particular de demostraciones referidas a igualdad de triángulos hay que aplicar los teoremas de igualdad estudiados, y para ello hay que plantear una sucesión de pasos, cada uno de los cuales deben estar debidamente justificados, según los datos del ejercicio y las propiedades que cumplan los elementos.

2.4.- Conclusiones del capítulo.

En este capítulo se le ha dado solución, en lo fundamental, al problema científico que ha sido formulado en esta tesis, al poderse formular una metodología para el empleo del Aprendizaje Significativo.

La misma comprende dos momentos, uno de reflexión acerca de si es recomendable o no la utilización de ese enfoque didáctico, y el otro consistente en desarrollar el Aprendizaje Significativo con efectividad.

Los criterios derivados del momento de reflexión acerca de la conveniencia de utilizarlos, o no, tocan las siguientes cuestiones:

·      la edad de los alumnos,

·      el nivel de asimilación de los estudiantes,

·      las características del contenido matemático, y

·      el nivel de desarrollo de las habilidades profesionales.

Los criterios formulados en torno a cómo aplicar el Aprendizaje Significativo consideran los siguientes aspectos:

·      los conocimientos previos de los alumnos,

·      la atención a las diferencias individuales de los mismos,

·      la formulación de una situación de partida vinculada con la práctica, con otras asignaturas, o con el desarrollo histórico de la Matemática,

·      la creación de una motivación por el aprendizaje,

·      la participación activa de los alumnos en la elaboración del nuevo conocimiento, sobre la base de los conocimientos anteriores, y

·      la fijación del nuevo conocimiento y su sistematización, a partir de la relación de éstos con los conocimientos previos.

En el capítulo se han desarrollado ejemplos que ilustran la utilización de esos criterios en la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico.

Capítulo 3: Reseña de una experiencia pedagógica acerca del empleo del   Aprendizaje Significativo.

3.1.- Organización del pre - experimento.

En  el  curso 97-98 se organizó una experiencia pedagógica  para validar los aspectos teóricos expuestos con relación a la utilización de un Aprendizaje Significativo. Ésta se realizó en la Secundaria Básica "Luis Fernández" del municipio Cerro, que es donde laboraba la autora.

Se  seleccionó un sólo grupo para la misma, teniendo en cuenta que en ese centro no había suficientes profesores con la experiencia requerida, y que la autora tenía asignado docencia en sólo ese grupo.

La validación se efectuó entonces a través de un pre - experimento, con la siguiente estructura:

        Grupo   Prueba   Estímulo  Prueba    Estímulo    Prueba    Estímulo    Prueba.

            G        O₁O₆          X₁ O₂             O₃                      __               O₄              X₂ O₂              O₅ O₆

Es decir, el grupo (G) fue elegido de manera intencional (por las razones objetivas antes señaladas), se aplicó entonces una prueba de diagnóstico (O₁) previamente a la influencia del estímulo.

Después se realizó el tratamiento de la Unidad " Números Racionales" según las recomendaciones formuladas para la utilización del Aprendizaje Significativo" (X₁) y paralelamente se efectuaron las auto - observaciones de clases ( O₂) ,  al finalizar la unidad se  aplicó una prueba de rendimiento académico (O₃).

Durante el desarrollo de la siguiente Unidad, "Potenciación de números racionales", se dejó de aplicar el estímulo consistente en la utilización del Aprendizaje Significativo  ( ___ ), al desecharse la misma de acuerdo con los criterios de selección formulados. Al finalizar la Unidad se aplicó una nueva  prueba de rendimiento académico (O₄) de contraste con la de la medición del efecto del estímulo.

Por último, en la unidad "Geometría Plana" se  instrumentó el tratamiento de los contenidos nuevamente de acuerdo con el modelo didáctico propugnado (X₂), y al concluir se le aplicó una prueba de rendimiento académico final (O₅). También se aplicó una encuesta a los alumnos acerca de su opinión sobre la asignatura (O₆).

La experiencia se desarrolló sobre la base de la consideración de la siguiente Hipótesis de Investigación: 

Hi: "Si  se instrumenta un Aprendizaje Significativo en las clases de Matemática del 7. grado, a partir de los criterios  formulados, entonces se  logra  un  mayor  desarrollo  de las habilidades matemáticas correspondientes en los alumnos y un incremento del interés por la asignatura."

Se trata de una hipótesis de tipo causal, en la que puede identificarse entonces variables independiente y dependientes. (Hernández-Sampieri, 1997)

La  variable  independiente  está dada por  la  utilización  de los criterios elaborados para  la instrumentación del Aprendizaje  Significativo en la enseñanza de la Matemática del nivel medio básico; tanto referido a cuándo utilizarlo y cómo hacerlo.

Las variables  dependientes  están representadas por: el interés alcanzado por los estudiantes  hacia  la Matemática y el desarrollo de habilidades matemáticas específicas fundamentales en las unidades de enseñanza seleccionadas.

Se ha señalado que, para la medición del comportamiento de dichas variables se elaboraron los siguientes instrumentos de investigación:

·      una guía de observación de clases,

·      cuatro tests de rendimiento  académico,

·      una encuesta donde el alumno debía manifestar su opinión sobre la asignatura.

La  Guía de Observación a clases se concibió para  registrar  los elementos  a tener en cuenta durante la realización de un Aprendizaje Significativo, y se apoya por tanto en los aspectos caracterizadores desarrollados en el Capítulo I. (Ver Anexo I)

Estos  aspectos, que contribuyen a medir el comportamiento de la variable independiente, fueron calificados siguiendo una escala considerada de intervalo. Dicha escala está constituida por los siguientes niveles:

5          muy elevado.

4          elevado.

3          medio.

2          bajo.

1          muy bajo.

El primer aspecto está determinado por el Aseguramiento del nivel de partida, el cual se consideró con la calificación de "5" si los conocimientos que se reactivan son los que están estrechamente vinculados con el que se va a elaborar. Además, las actividades que plantea el profesor para la reactivación se realizan de forma dinámica, con una amplia participación de los alumnos, por lo que el  tiempo destinado debe ser utilizado de forma racional.

Se otorga una calificación de "4"  si los conocimientos que se recuerdan son los que están relacionados con el nuevo conocimiento, y las actividades presentadas para ello son dinámicas, en las cuales participa la gran mayoría de los alumnos. Sin embargo, se  puede presentar alguna dificultad como la de no reactivar todos los conocimientos que son indispensables para la obtención del nuevo contenido, o la reactivación de otros que no son necesarios, o que la forma de actuación del profesor no propicie la participación  amplia de los estudiantes, o que el tiempo se exceda de forma innecesaria.

Se califica de "3" la actuación del profesor cuando  se recuerdan conocimientos necesarios para la elaboración o construcción del contenido que se va a elaborar, se presentan actividades las cuales propician la participación activa de los estudiantes, pero en varias ocasiones se presentan dificultades como la selección no correcta de los contenidos a reactivar, o en no lograr la amplia participación de los alumnos, o que el tiempo no sea utilizado de forma racional.

En cambio, se otorga la calificación de "2" si el profesor no logra reactivar los conocimientos necesarios, o en las actividades presentadas no hay una gran participación de los estudiantes o que el tiempo sea utilizado de manera no racional.

Finalmente, la calificación de "1" se preserva para aquellas situaciones en las cuales el profesor no realiza ninguna actividad relacionada con el Aseguramiento de Nivel de Partida.  

 En el aspecto II: "Presentación de una situación  de partida",  la  calificación  de "5" se otorga cuando  la  misma  está relacionada con la vida, o con otra asignatura, o con el desarrollo histórico del contenido matemático, pero además debe  estar  correctamente elaborada y su exposición por parte del profesor debe ser atractiva y convincente.

La  calificación de "4" se da si la situación presentada se relaciona con la práctica, o con otra asignatura, o con el desarrollo histórico del contenido matemático, pero en este caso se puede producir alguna imprecisión en  la forma de exponer el profesor. También si la situación es elaborada de las contradicciones generadas de la propia asignatura.

Se propone la calificación de "3" si la situación presentada es una aplicación práctica de la Matemática, o está relacionada con otra asignatura, o con el desarrollo histórico del contenido matemático, pero la ésta está elaborada de forma incorrecta o además no resulta atractiva o no logra  convencer al alumno. Esto se considera también para el caso de que sea tomada de las contradicciones generadas de la propia asignatura.

La categoría de "2" se otorga cuando, a pesar de que se presente una  situación de  partida de los tipos referidos se manifiestan errores en su elaboración y no resulte atractiva ni convincente.

La de "1" se corresponde con la no presentación de la situación de partida.

Al aspecto III de la guía ("Evidenciar insuficiencia en el conocimiento apoyándose en la situación de partida"), se le otorga la calificación de "5" a la actuación del profesor cuando éste logra evidenciar con claridad que los conocimientos previos que los alumnos poseen no son suficientes para resolver la situación de partida, y a su vez logra que la gran mayoría de los alumnos ser den cuenta de esta insuficiencia y se sientan entusiasmados por resolverla.

En relación con la calificación de "4", se considera cuando el profesor logra hacer visible la imposibilidad de no solucionar la situación de partida con los conocimientos precedentes, pero logra que sólo la mayoría de los alumnos se muestren dispuestos a resolver esa contradicción cognitiva.

Se considera la calificación de "3" cuando el profesor puede hacer ver con suficiente claridad que  con los conocimientos precedentes no puede ser resuelta la situación, pero no logra que la  mayoría de los alumnos manifiesten interés por encontrar la solución a la contradicción que entraña.

En relación con la calificación de "2" se otorga cuando el profesor no puede hacer ver a los estudiantes, de manera suficientemente clara, la imposibilidad de encontrar la solución y a su vez la mayoría de los alumnos no se muestran interesados en solucionarla.

Se califica de "1" cuando el profesor obvia este aspecto del Aprendizaje Significativo.

El aspecto IV: "Orientación hacia el objetivo", se evalúa de "5" si el profesor expresa de forma clara lo que se desea alcanzar en la clase, o sea no utiliza palabras cuyo significado el alumno no conozca, y además logra relacionarlo de manera lógica con la solución de la insuficiencia que se les presentó al no poder resolver la situación de partida.

En el caso de la evaluación de "4" el profesor debe expresar de forma clara a lo que se desea llegar, sin embargo puede que utilice algún término que no tenga significado para los alumnos en ese momento, o que no logre establecer con la claridad necesaria la relación de lo que se desea con lo que no se pudo solucionar.

La calificación de "3" se otorga si el profesor no alcanza expresar con suficiente claridad el objetivo a alcanzar en la clase, o cuando no pueda establecer de forma coherente la relación entre la insuficiencia cognitiva mostrada y lo que se desea lograr, que no es más que el poder resolver la situación de partida.

Se reserva la calificación de "2" para los casos en que el profesor no pueda expresar con la suficiente claridad lo que se desea alcanzar en la clase, y a su vez no lo relacione con la solución de la situación de partida.

Por último se otorga la de "1" si no se considera este aspecto en la clase por parte del profesor.

El aspecto V: "Conservación del carácter consciente del aprendizaje", se evalúa de "5" si el profesor logra durante toda la clase que el alumno sepa hacia qué objetivos parciales están dirigidas cada una de las actividades que realiza.

Se otorga la calificación de "4" si se logra una conservación de la orientación hacia el objetivo, con excepción de uno o dos momentos en los cuales el profesor desatiende este aspecto.

En cambio, la calificación de "3" se otorga si el profesor logra mantener la orientación hacia el objetivo en la clase, pero en varias ocasiones lo obvia.

La evaluación de "2" se le da al profesor cuando de forma reiterada, en las actividades que se realizan no se mantiene al alumno informado con relación a lo que desea parcialmente lograr.

Se califica de "1" si no se considera este aspecto en ningún momento de la clase, posterior a la formulación del objetivo principal.

Se explica ahora cómo se asignaron las diferentes calificaciones en el aspecto VI: "Obtención del conocimiento".

 La evaluación de "5" se consideró cuando las actividades previstas estaban estructuradas teniendo presente la relación de los conocimientos previos y su vinculación con el nuevo conocimiento, y se logre que la gran mayoría de los alumnos participen en su elaboración. Además, que estas actividades sean presentadas por el profesor de forma amena, dándole la suficiente confianza al alumno para que pueda realizarlas con un mínimo de ayuda del profesor.

En el caso de otorgar la calificación de "4" se tuvo en cuenta que el profesor estructure correctamente las actividades, y se logre que la gran mayoría de los alumnos participen, sin embargo éstos solicitan la ayuda del profesor en dos o tres ocasiones .

Para calificar este aspecto con "3" se requiere que el profesor plantee las actividades teniendo en consideración la relación de los nuevos conocimientos con los anteriores, pero a pesar de esto la mayoría de los alumnos necesitan de una ayuda sistemática por parte del profesor.

Se evalúa con "2" cuando se estructuran las actividades sin considerar los conocimientos precedentes, o que no logre la participación de la  mayoría de los alumnos, o que la intervención del profesor en las actividades que realizan la  mayoría de los alumnos sea permanente.

Por último, se considera la evaluación de "1" para este aspecto cuando el profesor sólo se limita a exponerle al alumno el nuevo contenido de forma ya acabada.

En el caso del aspecto VII: "Fijación" (para las clases de nuevo contenido), se evalúa de "5" si se ejemplifica adecuadamente lo estudiado en la clase, se realiza un resumen, se establece la relación del nuevo contenido con los contenidos precedentes de los cuales se partió, y todo esto se realiza con la participación de la totalidad de los estudiantes. Estas actividades se deben realizar en el tiempo necesario para no afectar su calidad.

Para evaluar de "4" la forma de actuar el profesor en este aspecto se considera la presentación de ejemplos adecuados, se resumen los conocimientos estudiados, se logra vincular el contenido anterior con el nuevo contenido, todo esto en el tiempo requerido, pero en este caso sólo logra la participación de la mayoría de los alumnos.

Para otorgar la evaluación de "3" el profesor debe presentar los ejemplos adecuados, hacer un resumen, pero no se logra vincular el conocimiento precedente con el nuevo conocimiento, o la participación de los alumnos es pobre, o el tiempo disponible no es el necesario.  

La calificación de "2" se debe emplear si se analizan los ejemplos necesarios, pero no se hace un resumen de la clase,  no se vinculan los nuevos conocimientos con los que lo preceden,  no se logra la participación activa de los alumnos y no se utiliza el tiempo racionalmente.

La evaluación de "1" se otorga cuando no se realiza ninguno de los elementos considerados para este aspecto.

El último aspecto a valorar de la guía de observación, y que está relacionado con las clases donde no predomina el Tratamiento de la Nueva Materia es la "Fijación" (aspecto VIII). Para este tipo de clase no se tienen en cuenta el aspecto VI de la guía (obtención del conocimiento), pero si los aspectos I, II, III y V. La evaluación de éstos se realiza considerando lo explicado anteriormente.

En relación con este último aspecto, se valora de "5" cuando los ejercicios presentados son variados, o se utilizan técnicas participativas, o juegos didácticos. El profesor debe lograr la participación de la totalidad de los alumnos.

La evaluación de "4" se otorga si el profesor utiliza ejercicios variados o técnicas participativas, o juegos didácticos, pero sólo logra la participación de la mayoría de los estudiantes.

Se da la calificación de "3" cuando el profesor, a pesar de presentar ejercicios variados, utilizar técnicas participativas, o juegos didácticos, no logra la participación de la mayoría de los alumnos.

Se evalúa de "2" si no utiliza ejercicios variados, o técnicas participativas, o juegos didácticos y la mayoría de los alumnos no desean participar, manifestando cansancio y aburrimiento en la clase.

De "1" se califica el aspecto si no se manifiesta ninguno de los requerimientos planteados para este tipo de clase.

Se han descrito las escalas de calificación utilizadas en la medición de los aspectos referidos a la actuación metodológica del profesor; éstas aparecerán representadas en la fila "a" de cada una de las tablas estadísticas expuestas en el epígrafe siguiente.

Se explicará a continuación cómo fueron calificados los efectos logrados en los estudiantes en cada uno de los aspectos, como consecuencia del proceder del profesor. Los mismos se representarán en la fila "b" de las tablas estadísticas correspondientes.

En general, se utilizó una única escala de calificación para evaluar la actividad de los alumnos; ésta es de intervalos, y abarcó los siguientes niveles de medición:

5       muy efectivo.

4       efectivo.

3       efectividad media.

2       poco efectivo.

1       no efectivo.

Se  valora  de "5" cuando la totalidad de  los  estudiantes están  atentos, entusiasmados, y participan activamente,  de  "4" cuando esto ocurre sólo con la mayoría de los alumnos, de "3" si   se logra ejecutar por alrededor de la mitad de los  estudiantes,  de  "2" por menos de la mitad, y de "1" cuando  la totalidad de los alumnos manifiesta desinterés por lo que se está realizando.

Hasta aquí lo referido a la organización de las observaciones de clases. Por otra parte, los  Tests  de rendimiento académico  permitieron  determinar  el comportamiento  del desarrollo de las  habilidades: identificar, fundamentar, calcular, y resolver problemas.

Cada  pregunta se  calificó de acuerdo con las acciones a realizar por  el  estudiante para su respuesta. (Ver Anexos II, III, IV, y V)

Se asume como identificar la acción que "...exige tener presente las características esenciales del concepto y determinar su presencia o no en el objeto dado". (MINED, 1989)

En cambio, la habilidad de fundamentar consiste en "...un sistema de acciones que realiza un sujeto cuando emite un juicio y determina el valor de verdad de una proposición matemática". (Valverde, 1990)

La habilidad calcular abarca las operaciones siguientes:

·      identificar el tipo de cálculo a realizar,

·      seleccionar las reglas de cálculo necesarias, y

·      efectuar los cálculos.  (Campistrous et al., 1989)

Por otra parte, la habilidad de resolver problemas presupone la modelación de una situación dada a través de una relación matemática, generalmente: una fórmula, una ecuación, una inecuación, o un sistema de ecuaciones. 

Finalmente, se tiene la Encuesta aplicada a los estudiantes (Ver Anexo VI ). El  completamiento de frase se realizó para  obtener  información acerca  de la valoración personal de los estudiantes en  relación con  las  clases de Matemática, al iniciar y finalizar el  experimento.  Se siguió la siguiente escala:

Gusta mucho.

Gusta.

Gusta muy poco.

No gusta.

Sin poder clasificar.

Se   consignaba  en  "gusta  mucho",  por  ejemplo,  cuando   se manifestaba esta expresión de forma explícita o se dijeran cosas como: "son  muy buenas", "motivan mucho", "son muy interesantes", etc.

El diseño antes descrito responde básicamente al paradigma cuantitativo de investigación. Los datos obtenidos en la aplicación de estos instrumentos se representarán a través de por cientos, considerando que no hay intenciones de hacer inferencias más allá del grupo seleccionado. En el caso de las tablas de la Guía de Observación se expresará también el nivel de interdependencia de las acciones metodológicas emprendidas por el profesor (filas a) y los efectos logrados en los alumnos (filas b) a través de la determinación del coeficiente de correlación de Pearson (r).

Con la intención de enriquecer el análisis se consideró además la utilización del Estudio Clínico de Casos, como un intento de aproximación al paradigma cualitativo.

Debe recordarse que este método se caracteriza por (González, 1996):

1.    Tomar al individuo como unidad esencial de análisis

2.    El contacto comunicativo permanente entre el sujeto investigador y el investigado.

3.    Acción intensiva sobre el sujeto investigado, que no se limita a la utilización de ninguna técnica, ni conjunto de técnicas específicas.

4.    La orientación a definir el resultado en síntesis y no en variables analíticas; y aunque esto último se relaciona mucho con la cosmivisión teórica del investigador, esta forma de aproximación al objeto de estudio la facilita.

5.    Tener en cuenta la situación en que el estudio transcurre como un elemento activo que interviene en el sentido del resultado.

6.    Resulta inherente a esta aproximación una unidad esencial entre el diagnóstico, la investigación, y la intervención.

Esta autora fundamenta la utilización del Método Clínico al reconocer que: "Tratar de comprender la sociedad por indicadores objetivos, fuera del sentido que ésta tiene para el individuo, es dejar fuera de nuestra representación su fuerza motriz esencial, que es precisamente el hombre. Ése es la célula activa y actuante básica en la estructura social. Las clases, grupos y organizaciones se expresan a través de hombres concretos, siendo el estudio de su mundo individual una fuente esencial para comprender las diferentes formas en que la sociedad se expresa en el hombre." (González, 1996).

La importancia del Método Clínico se expresa en la posibilidad del tránsito de los métodos cuantitativos a métodos activos de investigación, que propician descubrir la subjetividad individual y social en toda su complejidad, siendo el uso de este método una vía de transitar del positivismo y el estructuralismo hacia el humanismo en las ciencias sociales.

Si bien se plantean beneficios al uso de este método también se le asocian limitaciones. La más señalada es la de poner en duda su validez científica, pues en el mismo tiene una gran implicación la subjetividad, ya sea del investigador como la del investigado, y el hecho de que se hacen inferencias generales a partir de casos particulares, por lo que su validez no está siempre garantizada.

En el caso de la investigación que se describe la técnica se utilizó de la siguiente manera:

·      Se seleccionó una muestra no intencional de cinco alumnos, salvo el hecho de velar de que abarcaran tanto alumnos suspensos como aprobados en el diagnóstico inicial.

·      Se previó realizar una entrevista semanal a los alumnos seleccionados. En ellas se concibió  analizar aspectos relacionados tanto con la esfera cognitiva como con la esfera afectiva, ya que se tuvo en cuenta lo planteado en la posición defendida en cuanto a la unidad de los dos aspectos en el desarrollo de la personalidad. Se consideró además que en las primeras entrevistas se debía ganar la confianza de estos alumnos.

·      En cuanto al trabajo de colaboración que presupone este método, se prestó especial atención al uso de la formulación de recomendaciones concretas para erradicar sus dificultades académicas y afectivas, en este ultimo caso si fueron espontáneamente declaradas por ellos.

Este proceder presuponía una preparación previa por parte del profesor, la cual se llevó a efecto a través del estudio del Expediente Acumulativo, el intercambio con los maestros de sexto grado y una entrevista a los padres.

A partir de la caracterización del Aprendizaje Significativo asumida en el Capítulo I se determinó abordar en las entrevistas aspectos como:

·      el contenido que habían estudiado y su relación con el contenido precedente.

·      la solución de problemas relacionados con la vida práctica, otras asignaturas, o con el surgimiento del contenido matemático

·      la ejecución de acciones intelectuales tendientes a vincular sus conocimientos previos con los conocimientos a asimilar..

3.2- Resultados de la aplicación de los instrumentos de investigación:

Después de haber presentado la estructura de los instrumentos diseñados para la investigación, se procederá a continuación a efectuar el análisis de los resultados obtenidos en la aplicación de cada uno de ellos a nivel descriptivo.

Resultados de la aplicación de la Guía de observación a clases.

El primer aspecto se refiere al Aseguramiento del nivel de partida.

Como se puede observar en la tabla, existe una correspondencia considerable entre los valores de "a" y de "b" que se manifiesta con un valor de correlación r = 0,91.

No obstante, a pesar del esfuerzo realizado por el profesor se aprecia que una parte no despreciable de los alumnos (20,4%) presentaban dificultades con la reactivación de los conocimientos previos.

El segundo aspecto a analizar es de la Presentación de una situación de partida.

Se  puede observar que existe una alta correspondencia entre la  forma de  actuar del profesor y el efecto causado en  los  estudiantes, que se confirma con un valor del coeficiente de correlación  de r = 0,91.

Sin embargo, es de destacar que no se alcanzaron valores de mayor envergadura en el nivel "5" de actuación del profesor, producto de que no resultó fácil encontrar bibliografía referida a ejemplos acordes a las exigencias planteadas para la presentación de esta situación.

El aspecto III "Evidenciar insuficiencias en el conocimiento apoyándose en la situación de partida", en su análisis se arrojan los resultados siguientes:.

Se observa, según los resultados de la tabla, que hay correspondencia entre los aspectos "a" y "b",  lo que confirma el valor de r = 0,99 en la determinación de la correlación lineal. Además, los resultados alcanzados en el nivel "5" son más elevados; esto se debe a que las exigencias que se le plantean a este momento de la clase, en la metodología propuesta en el capítulo anterior, no es tan elevada como en la Instrucción Heurística  y en la Enseñanza Problémica.

Los resultados alcanzados en el aspecto IV de la Guía, referido a "La Orientación hacia el objetivo", son los siguientes:.

Como bien puede apreciarse, existe una alta correspondencia (r = 0,99) entre la forma de actuar del profesor y el efecto que ésta produce en los alumnos, sobre todo en el nivel "5".  Esto se explica, al igual que en el aspecto anterior, a partir de que las exigencias planteadas para este instante no son tan elevadas como en las formas de enseñanza ya mencionadas los valores logrados en el nivel de "4"  por los estudiantes es un poco mayor que los del profesor, y esto se debió a que en  algunas  ocasiones  existieron interrupciones en ese momento de la clase, para  pedir la asistencia  o  dar  alguna información, lo que provocó que los estudiantes dejaran de atender al profesor, y aunque éste volvía a repetir de nuevo la actividad el efecto no era el deseado.

El aspecto V se refiere a la Conservación del carácter consciente del aprendizaje.

En este caso también se considera elevada la correlación entre la actuación del profesor y el efecto que produce la misma en los estudiantes, alcanzándose una correlación de r = 0,99. Se debe señalar que en los niveles "4" y "3" se alcanzan los valores indicados, fundamentalmente, porque los alumnos dejan de prestarle atención al profesor debido a que las clases eran  frecuentemente interrumpidas, sobre todo en el primer turno.

En relación  con el aspecto VI ("Obtención del conocimiento") se obtuvieron los resultados siguientes:

.

En este aspecto se observa que existe una alta relación entre los valores de "a" y de "b", alcanzándose un coeficiente r = 0,97.  Las diferencias observadas se deben a las dificultades presentadas por la mayoría de los estudiantes para realizar las actividades de forma independiente.

El aspecto VII se refiere a la Fijación que se realiza en la clase donde se construye o elabora el nuevo contenido.

También se puede observar que existe una gran relación, obteniéndose un valor de r = 0,98. La dificultad que se presentó en este momento y que incidió en las calificaciones de "4" y de "3" es la relacionada con la participación de los estudiantes. Al final de la clase una mayoría manifestaba cansancio, sobre todo si faltaba el dinamismo en la actuación del profesor. Esta forma de proceder del estudiante se explica en el capítulo anterior donde se abordan las características psíquicas y fisiológicas del adolescente. 

En el caso de las clases propias de la Fijación se obtuvieron los siguientes resultados:

En relación con este último aspecto a considerar en el Aprendizaje Significativo, se observa que existe  alta relación entre la metodología utilizada por el profesor y el efecto que logra en los estudiantes (r = 0,99). Los valores obtenidos en los niveles de "3" y de "2" se deben a que en esos casos el profesor no logró que la mayoría de los alumnos realicen las actividades de forma independiente. En varias ocasiones afectaron las indisciplinas de algunos alumnos.

Resultados de la aplicación de los Test de conocimientos:

En  el  test inicial (O1) se obtuvo un 25% de promoción, las notas tienden a 38,5 puntos como  promedio con una desviación estándar de 21,1. En el segundo  test  (O2), se obtuvo una promoción de 77,5%, las notas tienden a  75,6 puntos como promedio, con una desviación estándar de 26,8. En  el tercer test (O3), promovió el 62,5% de los estudiantes, las notas tienden a 62,1 puntos como promedio, con una desviación estándar de 28,3. En el test final (O4) se obtuvo un 77,5% de promoción, las notas de los alumnos tienden a 64,0 puntos como promedio, con una desviación estándar de 25,2..

Esto  muestra  que se obtuvieron diferencias considerables entre los tests, que son  favorables  a  la hipótesis que se planteó en este trabajo.

Resultados de la aplicación de la encuesta:

Los resultados obtenidos en O₆ fueron:

                                           Al inicio (a):                             Al finalizar (b):

Gusta mucho (5):                   15%                                        60,5%

Gusta (4):                               10%                                        28,9%

Gusta muy poco (3):              15%                                              0%

No gusta (2):                          35%                                           7,8%

Sin poder clasificar (1)           7,8%                                           2,6%

En el caso de la primera encuesta realizada los resultados no fueron favorables ya que la mayor parte de los alumnos respondieron que no les gustaba o que les gustaba poco. Los resultados obtenidos son favorables en la segunda encuesta realizada, ya que la mayoría de los alumnos respondieron que la asignatura les gustaba  o les gustaba mucho.

Resultados del estudio clínico de casos:

Como se explicó en el epígrafe anterior, para la aplicación de este método se trabajó con una muestra no intencional de cinco estudiantes, teniendo en consideración para ello, los alumnos aprobados y los alumnos suspensos en el diagnóstico inicial.

Es bueno señalar, para una mejor caracterización de los alumnos a los cuales se les realizaron las entrevistas, que los alumnos seleccionados de los aprobados en el diagnóstico no presentaron dificultades en el cálculo con números fraccionarios, pero sí en la identificación, fundamentación de proposiciones y en la solución de problemas.

En el caso de los alumnos suspensos que fueron seleccionados, presentaron dificultades en la identificación, fundamentación de proposiciones, la solución de problemas, y en el cálculo con números fraccionarios.

Al realizar el estudio de los Expedientes Acumulativos y las entrevistas a los maestros de 6.grado, salió a relucir que en al caso de los alumnos aprobados, seleccionados para las entrevistas, estaban bien atendidos por sus familiares tanto en el plano material como en el afectivo, éstos visitaban de manera sistemática a la escuela y manifestaban preocupación por sus resultados docentes. Aunque se debe aclarar que en el caso de uno de ellos, el padre se encuentra separado de la madre y no se preocupaba por el niño, pero sí era muy bien atendido por su mamá, la abuela materna y su tía.

En relación con los alumnos suspensos seleccionados para la aplicación de este método se obtuvo la información, a través de las fuentes referidas, que la atención material por parte de los padres era aceptable, sin embargo la preocupación de éstos por la actividad docente de sus hijos sólo se limitaba a ir a la escuela cuando eran citados por algún profesor.

 Los tres niños son hijos de padres separados. A uno de ellos, su mamá lo abandonó para irse a los EE.UU. y lo dejó a cargo de su papá, abuela y tía (ambas paternas). Otro de los alumnos no estaba de acuerdo con que su mamá se hubiese vuelto a casar y el haber tenido otro hijo al cual tenía que prestar una mayor atención que a él. El tercer caso vivía con su mamá y una tía, la cual tiene un niño pequeño, y cuando regresaba de la escuela tenía la obligación de ayudar a cuidarlo. Además la mamá manifestaba que no podía ir a la escuela por tener mucho trabajo.

Sobre la base de los resultados del diagnóstico y las relaciones familiares de estos alumnos se concibieron las entrevistas, las cuales no tenían un plan prefijado, pero sí era necesario que el profesor tuviera un dominio de las características de estos alumnos para poder entablar la conversación con ellos.

A continuación se reproducirá parte de las entrevistas individuales realizadas a los alumnos seleccionados como parte del Estudio Clínico:

(YM: Alumno de la ESBU "Luis Fernández" del municipio Cerro; AG: Ana Gloria López, profesora de la ESBU "Luis Fernández")

(Esta es la primera entrevista realizada al alumno, el cual tiene dificultades serias en los resultados docentes).

AG: Me gustaría  por lo menos una vez a la semana conversar contigo, ya que en la clase no es posible hacerlo, y yo estoy interesada en conocerte mejor para poder ayudarte. ¿Estás de acuerdo?.

YM: Si..  

AG: ¿Te gusta la escuela?.

YM: Algo.

AG: ¿Qué es lo que no te gusta?.

YM: Que hay que levantarse temprano, ponen muchas tareas, regañan...

AG: ¿Y qué es lo que te gusta?

YM: Que aprendo.

AG: Es importante que sepas eso, sin embargo en las clases de Matemática no estás participando, ¿por qué?.

YM: No la entiendo.

AG: Nunca me lo has dicho.

YM: Me da pena.

AG: Creo que ahora que estamos solos tú y yo me puedas decir tus dudas. ¿Te parece bien así?

YM: Sí, porque delante de todos no me gusta decir disparates y que usted se pone brava porque yo no sé.

AG: Ya sabemos que te cuesta algo de trabajo entender la explicación en la clase, ¿por qué?.

YM: Mire "profe", es que usted se pone a hablar eso de números fraccionarios, sólo entiendo algo del cálculo.

AG: ¿ Y los problemas?

YM: No puedo ni me gustan resolverlo.

AG: Sé que ayudas a tu abuelita, eso me parece muy bien de tu parte, ya que tu papá y tu tía están trabajando.

YM: Yo cuido a mi hermanito y además voy a la bodega.

AG: Ustedes son un núcleo de cinco personas, la merluza cuesta cincuenta centavos la libra y a cada persona le dan una libra. ¿ Cuánto tienes que pagar cuando compras la merluza?.

YM: El carnicero me lo dice.

AG: ¿ Y si se equivoca y te cobra de más, te gusta que eso te suceda?.

YM: Claro que no.

AG: Entonces piensa cómo determinar lo que tienes que pagar.

YM: No sé.

AG: Ustedes son cinco personas y por cada una, ¿cuánto se paga?.

YM: cincuenta centavos.

AG: O sea, son cinco personas y cada una paga cincuenta centavos. ¿ Cuál es el total ?

YM: Sumo cincuenta centavos cinco veces.

AG: Calcúlalo (Le da un papel).

YM: Me da dos pesos y cincuenta centavos.

AG: La respuesta es correcta, pero ¿se podría solucionarla  de otra manera?.

YM: No sé.

AG: Tú sumas 0,50+0,50+0,50+0,50+0,50 ¿qué otra operación puedes plantear que sea lo mismo que hacer esta suma?.

YM: Así ya sé, multiplico por cinco.

AG: ¿Qué tú crees acerca de la importancia de la Matemática?.

YM: Si no sé sumar o multiplicar no podía resolver este problema.

AG: Además no sólo eso, sino que primero tuvistes que interpretar el problema para poderlo resolver y eso es algo que no debes olvidar cuando tengas que resolver un problema.

 ¿Te ayudó en algo esta conversación?.

YM: Si "profe" y, ¿qué día volvemos a hacer esto?.

AG: Es una vez a la semana, los lunes, cuando termines el cuarto turno, pero si necesitas conversar otro día o no quieres ese por alguna razón, no tengas pena en decírmelo.

En el caso de los alumnos con dificultades se logró que  dos  de ellos aprobaran, pero además que cambiaran la actitud de desinterés  por  la Matemática,  manifestándose  interesados no sólo en las entrevistas individuales, sino también en su participación  en el aula.

En  el caso del tercer alumno seleccionado no se pudo  lograr  que  cambiara  su  actitud.  Manifestaba  en   las entrevistas que no tenía ningún interés en aprender. (Este alumno tiene dificultades en varias asignaturas y quería vengarse de su mamá por haberse casado de nuevo, y lo hacía suspendiendo)

Con los alumnos de rendimiento medio que al principio presentaban dificultades en la resolución de problemas, identificar y fundamentar, a medida que avanzaron las entrevistas fueron  mejorando,  logrando independencia  en la resolución de ejercicios con  tales  exigencias.

La utilización de este método permitió conocer la forma de pensar de los alumnos a la hora de enfrentarse a determinado ejercicio matemático y la necesidad de un trabajo diferenciado. A pesar de la introducción de alternativas metodológicas novedosas en las clases, algunos de ellos necesitan de un tratamiento  individual por  tener problemas personales, o presentar dificultades en los  contenidos matemáticos previos, o por no estar motivados por la asignatura, etc.

3.3.-Conclusiones del capítulo.

En este capítulo se da respuesta a la última pregunta científica de este trabajo relacionada con la validación de la propuesta metodológica del Aprendizaje Significativo en las particularidades de la escuela cubana.

En el mismo se hizo una explicación sobre la forma que fue organizado el pre - experimento, las características de los instrumentos utilizados y, por último, una valoración de los resultados que se lograron.

A partir del análisis realizado de los resultados obtenidos de la aplicación de los diferentes instrumentos se pudo arribar a las siguientes conclusiones parciales:

·      Se elevó la motivación de los estudiantes por la Matemática, esto se pudo constatar porque:

*      Ascendieron los resultados del aprendizaje según los tests aplicados.

*      Las opiniones de la mayoría de los alumnos en relación con la Matemática fueron favorables de acuerdo a los resultados de la encuesta final aplicada.

*      A través de las observaciones a clases este indicador se comportó de manera favorable y muy relacionado a la metodología utilizada por el profesor.

*      Los estudiantes a los cuales se les dio seguimiento a través del Estudio Clínico de Casos mejoraron su opinión de la asignatura.

·      Se logró un mayor desarrollo de las habilidades matemáticas fundamentales del grado dado que:

*      Se elevaron los resultados en los tests correspondientes a la aplicación de la metodología, en relación con los obtenidos en las etapas donde no fue utilizada la propuesta.

*      Fue mayor la calificación del nivel de participación e independencia logrado durante la obtención y fijación de los conocimientos, a través de la guía de observación a clases, y además muy correlacionados con la actuación del profesor en la aplicación de la metodología del Aprendizaje Significativo.

*      Se mejoraron sustancialmente las calificaciones de los estudiantes a los cuales se les dio seguimiento a través del Estudio Clínico de Casos

CONCLUSIONES:

Sobre la base del cumplimiento de las tareas de investigación previstas se han podido arribar a las siguientes conclusiones:

·      Se puede reconocer un enfoque didáctico desarrollador denominado Aprendizaje Significativo  de la Matemática, que es aquel  que los alumnos realizan cuando el profesor de esta asignatura, tras partir de considerar los conocimientos previos relacionados con el contenido matemático que se va a elaborar, presenta una situación que no puede ser resuelta con dichos conocimientos,  provocando en ellos la necesidad de solucionarla, formula el objetivo correspondiente y presenta las actividades encaminadas a lograrlo, las cuales son resueltas con una amplia participación de los estudiantes. Ellos pueden finalmente asimilar el nuevo contenido matemático, integrándolos a los conocimientos previos que ya poseían, y aplicarlos en la resolución de  ejercicios.  La situación de partida presentada ha de ser tal que manifieste una estrecha relación con las aplicaciones prácticas de la Matemática, o con cuestiones históricas de su desarrollo como ciencia, o con otras asignaturas.

·      El enfoque didáctico de Aprendizaje Significativo es válido para una enseñanza de la Matemática que asume a ésta como una ciencia en desarrollo, done juegan un papel fundamental tanto el método deductivo como los reductivos en la elaboración del conocimiento.

·      La aplicación de este enfoque en la escuela es ventajosa pues posibilita:

*       Que los alumnos no sientan temor por el estudio del nuevo contenido.

*       Se logra una mayor motivación por el estudio de la Matemática.

*       Fomenta el desarrollo de habilidades matemáticas sobre la base de la participación activa  de los alumnos.

*      Le plantea al profesor un menor nivel de exigencia de elaboración didáctica que la demandada por otras formas de enseñanza desarrolladora como la Instrucción Heurística y la Enseñanza Problémica.

*      De manera similar requiere del alumno un menor nivel de exigencia intelectual para la elaboración del nuevo conocimiento, aún cuando conserve éste una posición protagónica en el proceso.

·      A pesar de estas ventajas se admiten limitaciones asociadas al empleo de este enfoque didáctico, lo que confirma el criterio de que ningún método es absoluto, sino que depende, entre otros factores, de las condiciones de la enseñanza.

·      Considerando que no siempre es apropiado el empleo del Aprendizaje Significativo en la Enseñanza de la Matemática, se determinaron los siguientes criterios referidos a cuándo debe emplearse esta propuesta. Estos son:

*      Tener en cuenta la edad de los alumnos, o sea, debe aplicarse preferiblemente en la enseñanza primaria y en los primeros grados de la enseñanza media.

*      Se debe aplicar preferentemente en grupos donde existan dificultades con el aprendizaje de la asignatura, o que no sientan motivación por el estudio.

*      Considerar si el contenido de la enseñanza es propicio para ser  vinculado con situaciones de la vida práctica, o con otras asignaturas, o con  cuestiones históricas relacionadas con la Matemática.

*      Tener en cuenta si el profesor no posee el nivel suficiente de desarrollo de las  habilidades profesionales necesarias para emprender un trabajo con formas superiores de enseñanza desarrolladora (como la Enseñanza Problémica o la Instrucción Heurística), en cuyo caso es apropiado este enfoque, por ser didácticamente menos exigente.

·      La concreción del Aprendizaje Significativo de la Enseñanza de la Matemática del nivel medio general debe realizarse sobre la base de los siguientes criterios:

1.    Determinar los conocimientos previos de los alumnos que se encuentran estrechamente relacionados con los que se van a asimilar.

2.    Comprobar si los alumnos dominan esos conocimientos, y en el caso que tengan dificultades en los mismos elaborar actividades para su reactivación.

3.    Planificar actividades diferenciadas orientadas a los alumnos que presentan las dificultades.

4.    Elaborar una situación de partida, teniendo en cuenta que la misma debe estar vinculada con la práctica, o con otras asignaturas, o con el desarrollo histórico de la Matemática, de manera además que no puedan resolverla con los conocimientos que ellos poseen.

5.    Hacer visible la insuficiencia de conocimientos, al no poder resolver la situación presentada con los contenidos que ellos ya poseen, y a continuación orientarlos hacia el objetivo.

6.    El conocimiento se debe elaborar mediante la articulación del conocimiento anterior con el nuevo conocimiento, a partir de los actos y reflexiones de los alumnos con objetos o con sus representaciones.

7.    Fijar lo estudiado en la clase.

8.    Resumir los aspectos más importantes de la clase, así como enfatizar la relación entre el nuevo contenido con los conocimientos previos.

·      El empleo de la metodología derivada de la consideración de los criterios antes referidos, demostró ser eficiente durante su validación en el grupo docente de la autora; al arrojar el pre - experimento diseñado los siguiente resultados:

*      Incremento de la motivación por el estudio de la Matemática, puesto de manifiesto en:

            - Un mejoramiento de los resultados del aprendizaje según los tests aplicados.

            - Las opiniones mayoritariamente favorables hacia la asignatura según las encuestas realizadas a los estudiantes.

            - Un comportamiento favorable de este indicador en las observaciones a clases realizadas,  y el que además está considerablemente correlacionado con el empleo de la metodología por parte del profesor.

            - Un mejoramiento de la valoración de la asignatura en la mayoría de los estudiantes a los cuales se les hizo el estudio clínico de casos.

*      Desarrollo de las habilidades matemáticas fundamentales del grado, dado que:

            - En los tests correspondientes a la aplicación de la metodología los resultados son superiores a los relativos a las etapas donde no se utilizó la propuesta.

            - En los aspectos de la guía de observación a clases referidos al nivel de participación e independencia de los alumnos durante la obtención y fijación de los conocimientos, se obtienen mayoritariamente niveles altos de calificación, los que además están considerablemente correlacionados con la variable independiente.

            - En el caso de los estudiantes que fueron sometidos al estudio clínico de casos, se pudo apreciar un mejoramiento sustancial de las calificaciones de la asignatura, los dos estudiantes de rendimiento académico promedio concluyeron con calificaciones de 100 puntos, y de los tres estudiantes de bajo rendimiento dos de ellos obtuvieron la calificación de aprobado.

RECOMENDACIONES. 

De acuerdo con las conclusiones anteriormente expuestas se plantean las siguientes recomendaciones generales:

·      Divulgar los resultados teóricos de la tesis de manera que se incorpore al sistema de conocimientos de la Metodología de la Enseñanza de la Matemática difundida en el país.

·      Extender la validación en la práctica escolar de la metodología formulada a poblaciones educacionales mayores.

·      Continuar profundizando en la utilización de método del estudio clínico de casos en las investigaciones que se realizan en el campo de la enseñanza de la Matemática.

·      Realizar investigaciones acerca de la aplicación del Aprendizaje Significativo de la enseñanza de la Matemática, similares a ésta, en otros niveles de enseñanza, especialmente en la enseñanza primaria.

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36.________ "Didáctica de la Escuela Contemporánea, un punto de vista cubano". Editorial A.B, Potosí, 1997.

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38..Wadsworth,B.J. "Teoría de Piaget del desarrollo cognitivo y afectivo". Editorial Diana. Ciudad México, 1991.

ANEXOS:

ANEXO I : GUÍA DE OBSERVACIÓN A CLASES.

I. Aseguramiento del nivel de partida.

a)¿Con qué nivel de eficiencia logra el profesor asegurar en los alumnos los conocimientos precedentes?.

b)¿En qué medida esto fue efectivo?.

II. Presentación de una situación de partida.

a)¿Con qué nivel de eficiencia logra el profesor presentar a los alumnos una situación de partida?.

b)¿En qué medida fue esto efectivo?.

III. Evidenciar insuficiencias en el conocimiento apoyándose en la situación de partida.

a)¿Logró el profesor hacer visible la insuficiencia en el conocimiento al estudiante?.

b)¿En qué medida ésta fue efectiva?.

IV. Orientación hacia el objetivo.

a)¿Cómo valora el planteamiento del objetivo de la clase por el profesor a los alumnos?.

b)¿En qué medida ésta fue efectiva?.

V. Conversación del carácter consciente del aprendizaje.

a)¿Se logra la activación de la orientación hacia el objetivo en otros momentos de la clase?.

b)¿En qué medida ésta fue efectiva?.

VI. Obtención del conocimiento.

a)¿Cómo valora las tareas formuladas por el profesor a los estudiantes para la obtención del conocimiento?.

b)¿En qué medida ésta fue efectiva?.

VII. Fijación (en la clase de nuevo contenido)

a)¿Cómo valora el trabajo realizado por el profesor en aras de ejemplificar lo estudiado?.

b)¿En qué medida ésta fue efectiva?.

VIII. Fijación (clases de fijación).

a)¿Cómo valora las actividades presentadas por el profesor para la fijación?

b)¿En qué medida ésta fue efectiva?.

ANEXO II : TESTS DE RENDIMIENTO ACADÉMICO No.1

1.Diga si son verdaderas o falsas las proposiciones siguientes. Fundamente las que usted considere falsas.

a) 3/4 es un número fraccionario._______

b) 3/4 es un número natural. _______

  

c) 5 es un número fraccionario._______

d) 5 es un número natural.________

2.Calcular:

a)269,83 - 25,984.                                         d) 3/4 + 2/7

           

b) 2,85 + 543                                     e) 5/6 . 2/3

c) 17,292 : 3,3                                      f) 28,5 + 7 - 3,4 + 5 - 2,9

3. La libra de arroz en la bodega tiene un costo de 24 centavos. A cada persona le corresponden 6 libras de arroz mensuales.

a) ¿Cuánto tiene que pagar una persona cuando compra el arroz del mes?.

b) Si paga con un billete de diez pesos, ¿cuánto le tienen que devolver?.

ANEXO III : TESTS DE RENDIMIENTO ACADÉMICO No.2

1.Determine cuáles de las proposiciones siguientes son verdaderas y cuáles falsas. Fundamente las que considere que sean falsas.

a) 8 es un número racional.

b) -1/2 es un número fraccionario.

           

c) -1/2 es un número racional.

d) 8 es un número entero.

2.Calcula:

a) -4 +  8,21                  d) - 2/5 + (-1/9)

                                  

b) -3 . (-1,45)                e) 5/3 . (- 7/10)

c) 39,06 : 4,34              f) 3 - 0,4 + 9-1,7 + 8

3.Las Reformas de Solón ocurrieron en el año 594 ANE y la caída del Imperio Romano en el año 476 NE.

¿ Cuántos años de diferencian hay entre esos hechos?.

ANEXO IV : TESTS DE RENDIMIENTO ACADÉMICO No.3

1.Diga si son falsas o verdaderas las proposiciones siguientes. En el caso de las que considere falsa fundaméntala.

a) El cuadrado de 33,2 es 1102.

b) La raíz cuadrada de 8,585 es 29,3.

c) x³ . x⁴ = x¹²

d) a⁹ : a⁵ = a⁴

2. Calcular :

a) -3,4 + 7

b) -12 -5

c) - 7/5 + 5/2

d) -1/2 . 4/5

e) -6 . (-7)  + 8,25² -6,4 : (-0,4)

3. El número estimado de estrellas en nuestra galaxia es 10¹¹ y el número aproximado de galaxias del universo similares a la nuestra es 10¹². ¿Qué número aproximado de estrellas existe en todas estas galaxias?

ANEXO V : TESTS DE RENDIMIENTO ACADÉMICO No.4

1. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Fundamente las falsas.

a) Los ángulos alternos entre paralelas suman 180°

b) Si en un triángulo ABC el <A = 48°, el <B = 52°, entonces el <C = 80°.

c) Los ángulos opuestos por el  vértice tienen la misma amplitud.

d) Dos triángulos que tengan respectivamente iguales dos ángulos, entonces son iguales.

2. Calcular:

a) -9,45 + 23

b) -5/14 -9/42

c) 3^-2 . 9

d) -7,2 : 2,4 + 3,01² -455

3. En una empresa trabajan 352 trabajadores. De ellos el 40% son mujeres. ¿Cuántas mujeres y cuántos hombres hay en la empresa?

ANEXO VI : ENCUESTA A LOS ALUMNOS ACERCA DEL ESTADO DE OPINIÓN  SOBRE LA ASIGNATURA.

Complete la siguiente frase:

"Mi opinión sobre la clase de Matemática es...

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 [PAG1]Hasta aquí se revisó el 9/07/98