UNIVERSIDAD
“CARLOS RAFAEL RODRÍGUEZ”
CIENFUEGOS
LA PREPARACIÓN
GEOMÉTRICA DE LOS ESTUDIANTES DE LA LICENCIATURA EN EDUCACIÓN PRIMARIA
TESIS PRESENTADA EN OPCIÓN AL GRADO CIENTÍFICO DE
DOCTOR EN CIENCIAS PEDAGÓGICAS
AUTOR:
Profesor Robert Barcia Martínez
TUTOR: Dr.
Alberto Valle Lima
-
2000 –
SÍNTESIS
La
presente tesis aborda el tratamiento metodológico de la Geometría en la
Licenciatura en Educación Primaria. En ella se expone una caracterización
histórica de la enseñanza de esta rama de la Matemática en la formación de
maestros primarios desde 1857, la que se concluye con una cronología y
tendencias de su enseñanza en nuestro país. Uno de los aportes fundamentales está
dado en la precisión y fundamentación de principios metodológicos para la
enseñanza de la Geometría en la formación de este profesional. Otro de los
aportes está dado por el esquema de los pasos que se plantean para la
elaboración de un libro con fines didácticos y por el libro de Geometría Plana
que se escribió, en el que se materializan los principios metodológicos
propuestos. Entre las conclusiones se destaca que estos principios enriquecen
la didáctica de la enseñanza de la Matemática en la formación de maestros
primarios, que su aplicación y concreción en el libro inciden de manera
positiva en la esfera motivacional, en la formación profesional de los alumnos,
en el desarrollo de la independencia cognoscitiva y en el nivel
científico-metodológico de los conocimientos geométricos.
Dedicatoria
Se dedica esta tesis a
quienes constituyen la fuente principal de inspiración para su realización,
quienes han decidido ser fieles seguidores del postulado de nuestro Héroe
Nacional de que: “Al venir a la tierra, todo hombre tiene derecho a que se le
eduque, y después en pago, el deber de contribuir a la educación de los demás.”(1);
a todos los profesores de Matemática que contribuyeron a mi formación en este
campo de las ciencias; a mi familia, en especial a la memoria de mis padres, a
mis hijos y a quien, durante todos estos años de dedicación al magisterio, ha
sido mi inseparable compañera en el trabajo y en el hogar: a mi esposa.
(1)
Educación
Popular. Obras Completas. Tomo 19. Página 375
Agradecimientos
Resulta muy difícil enumerar a cada una de las personas
que contribuyeron a que esta tesis germinara, a todas muchísimas gracias. Pero
no estaría conforme, en lo personal, si al menos no declaro de manera explícita
mis agradecimientos de la manera colectiva a:
§ Los técnicos del Museo de la Educación de La Habana y de
las bibliotecas que me brindaron sus servicios, en especial a las de la
biblioteca del I.S.P. “Conrado Benítz”de Cienfuegos.
§ Los profesores de Matemática de los I.S.P. del país que
tan amablemente me dieron sus valiosos criterios y opiniones, específicamente a
los del I.S.P. “Félix Varela” y del I.S.P. Enrique J. Varona”, así como a los
integrantes de la Cátedra Dulce María Escalona de este último.
§ Los profesores de Matemática y Pedagogía jubilados que me
nutrieron de sus ricas experiencias en el magisterio.
§ Los miembros de los centros de estudios del I.S.P.
“Conrado Benítez” y de la Universidad “Carlos Rafael Rodríguez” de Cienfuegos
por los asesoramientos que en cada momento me dieron.
§ Mis oponentes en la predefensa por sus profundas y
oportunas reflexiones y por sus muestras de profesionalismo.
§ Todos los especialistas de nuestra lengua materna por las
correcciones que me hicieron en la redacción de la tesis.
§ Todos mis compañeros de trabajo, en particular a los
profesores de la Disciplina de Matemática del Departamento de Primaria.
No obstante, siento la necesidad de explicitar mis
agradecimientos de manera individual a:
§ Mi tutor, por todo el tiempo que me dedicó y el
asesoramiento técnico que me brindó, así como la confianza que depositó en mí.
§ Mis hijos, quienes han estado al tanto de cada etapa de
la investigación, en especial, a mi hijo por sus asesoramientos en el orden
computacional.
§ Mi esposa, por su paciencia; comprensión y apoyo tanto en
el trabajo como en el hogar, sin la que no me hubiera sido posible acometer
esta investigación.
 |
INDICE
INTRODUCCIÓN.................................................................................................................................................................. 1
CAPÍTULO I
LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN LA FORMACIÓN DE MAESTROS PRIMARIOS 10
1.1.-
Breve reseña histórica de la enseñanza de la Geometría en la escuela
primaria en Cuba 10
1.2.-
Caracterización del curso actual de Geometría de la escuela primaria en
Cuba.......................................... 13
1.3.-
Tendencias sobre la enseñanza de la Geometría en el nivel primario en
otros países 16
1.4.-
La enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios en Cuba 18
1.4.1- Período
Colonial........................................................................................................................................... 18
1.4.2- Período Neocolonial...................................................................................................................................... 20
1.4.3.- Período de la Revolución en el Poder....................................................................................................... 24
I.- Antes del perfeccionamiento del sistema
educacional............................................................................. 25
II.- A partir del perfeccionamiento del sistema
educacional........................................................................ 27
III.- En el Plan C de la Licenciatura en Educación
Primaria........................................................................ 32
1.4.7. Tendencias
de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios en
Cuba.. 35
1.4.8. Cronología de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros
primarios................... 35
1.5. Conclusiones................................................................................................................................................................. 37
CAPÍTULO II PROPUESTA Y FUNDAMENTACIÓN DE
PRINCIPIOS METODOLÓGICOS PARA EL TRATAMIENTO DE LOS CONTENIDOS GEOMÉTRICOS EN
LA FORMACIÓN DE UN LICENCIADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA 38
2.1. Sobre el concepto de principio................................................................................................................................... 38
2.2 Propuesta y fundamentación de
principios metodológicos para el tratamiento de los contenidos geométricos en la Licenciatura en Educación Primaria..................................................................................................................................................... 40
I.- Principio de la historicidad de la Geometría como
ciencia.......................................................................... 41
II.- Principio de la vinculación del contenido
geométrico con la metodología de la enseñanza de la Geometría 44
III.- Principio de la relación entre la intuición y el
rigor..................................................................................... 54
IV.- Principio de la vinculación de la enseñanza de la
Geometría con otras ramas de la Matemática... 58
V.- Principio de la vinculación del contenido
geométrico con la elaboración de medios de enseñanza para el ejercicio de la
profesión...................................................................................................................................................................................... 60
2.3. Carácter sistémico de los principios
propuestos..................................................................................................... 64
2.4 Valoraciones de la aplicación de los
principios propuestos................................................................................... 66
2.5.-Conclusiones................................................................................................................................................................. 68
CAPÍTULO III FUNDAMENTACIÓN DE LA PROPUESTA
DE UN LIBRO DE GEOMETRÍA PLANA PARA LA FORMACIÓN DE UN LICENCIADO EN EDUCACIÓN
PRIMARIA........................................................................................................ 71
3.1.-Consideraciones teóricas acerca de
la literatura docente.................................................................................... 71
3.1.1.-
Funciones de la literatura docente............................................................................................................ 74
3.2. Criterios de profesores y alumnos
sobre la necesidad y requerimientos de un libro de Geometría Plana para la
formación de un Licenciado en Educación Primaria.......................................................................................................................... 75
3.3. Pasos metodológicos que se siguieron
para la elaboración del libro propuesto................................................ 77
3.4.- Estructuración del libro propuesto........................................................................................................................... 81
3.4.1-Concepción de los componentes textuales................................................................................................ 82
A.- Contenido fundamental............................................................................................................................... 82
B.- Contenido complementario......................................................................................................................... 90
C.- Aclaradores textuales.................................................................................................................................... 90
3.4.2. Concepción de los componentes no textuales......................................................................................... 92
D.- Aparato organizativo de la asimilación..................................................................................................... 92
E.- Materiales ilustrativos o ilustraciones gráficas.......................................................................................... 95
F.- Aparato que orienta....................................................................................................................................... 97
3.5.-Valoraciones sobre
la propuesta del libro de Geometría.................................................................................. 100
3.6.-Conclusiones.............................................................................................................................................................. 101
CONCLUSIONES.............................................................................................................................................................. 103
RECOMENDACIONES................................................................................................................................................... 104
BIBLIOGRAFia............................................................................................................................................................... 105
ANEXOS............................................................................................................................................................................. 114
INTRODUCCIÓN
La
política educacional de la Revolución Cubana en cuanto al nivel y preparación
científica que ha de tener el personal docente ha estado definida muy
claramente desde el programa del Moncada, contenido en “La historia me
absolverá.”, cuando en este se plantea:
“Debe concedérseles además a los maestros
(...) cursos especiales en el país o en
el extranjero, poniéndose al día en los últimos conocimientos pedagógicos y
mejorando constantemente sus programas y sistemas.” (6,65)
Esta prioridad también se ha
reflejado en los distintos congresos del Partido Comunista de Cuba, por
ejemplo, en las tesis del Primer Congreso se expresa:
“Una de las tareas más
importantes del Sistema Nacional de Educación es la de formar y superar al
personal encargado de la función docente educativa.” (4; 395)
Por otra parte se ha puesto de manifiesto la necesidad de enriquecer
nuestras propias experiencias pedagógicas sobre bases científicas. Al respecto,
en las Tesis y Resoluciones del Primer Congreso del Partido Comunista de Cuba
se dice:
“El Ministerio de Educación a través del Plan de
Perfeccionamiento del Sistema debe sustentar la naturaleza científica del
trabajo docente- educativo(...)sobre la base del desarrollo de las experiencias
pedagógicas cubanas...” (4,388)
El desarrollo acelerado de la ciencia y la tecnología reclama, día
tras día, de la vitalidad del magisterio; del empeño de preparar al alumno para
la vida; del cultivo de valores; de situarlos ante problemas que puedan ser
solucionados por la vía del razonamiento y la creatividad. Pero para lograr la
preparación de este hombre del futuro es necesario que el maestro profundice
cada vez más en el proceso pedagógico, que tenga un mayor dominio de las
Ciencias Pedagógicas, que explote los recursos de que dispone para elevar la
eficiencia de este proceso y en particular que sea un estudioso de la
metodología de la asignatura que imparte.
El
Perfeccionamiento Continuo del Sistema Nacional de Educación cubano exige,
obviamente, la superación del personal docente en las diferentes metodologías.
A partir del curso 1992-1993, el Ministerio de Educación, como consecuencia de
las exigencias planteadas en el IV Congreso del Partido, precisó las
direcciones principales del trabajo educacional, entre las que se encuentra:
-
Priorizar y elevar la eficiencia de
la preparación en Matemática, lo que exige:
a) El dominio de los contenidos y
las diferentes alternativas metodológicas por los maestros y profesores de esta
asignatura.
b)
El desarrollo de una enseñanza que
asegure la motivación e interés del alumno por la asignatura que le exija una
intensa y constante utilización del
conocimiento y la demostración de un avance progresivo.
Esta dirección de trabajo cobra una doble significación en las
Facultades Pedagógicas, pues en primer lugar, estas instituciones deben
garantizar la superación y preparación de sus profesores y en segundo, tienen
la responsabilidad de egresar maestros y profesores capaces de contribuir a
elevar la eficiencia de la preparación de los alumnos de la enseñanza general.
El significado de la matemática y su enseñanza está dado por su
propio desarrollo histórico. Los conocimientos matemáticos surgen de
necesidades prácticas del hombre, mediante un largo proceso de abstracción y
son aplicados luego, para resolver otras situaciones prácticas. Al respecto
Federico Engels en su obra Anti-Dühring plantea:
“El hecho de que esta materia se nos presente bajo una
forma sumamente abstracta, sólo superficialmente puede encubrir el hecho de que
su origen es el mundo exterior.” (2,52)
El carácter práctico de
la Matemática hace que su enseñanza sea importante, pues es aplicada en
distintas esferas de la vida, desde la más sencilla hasta la que exige un mayor
dominio de conocimientos matemáticos. Por otro lado, los métodos lógicos de
razonamiento propios de la Matemática atribuyen a su enseñanza, especial
significación por la contribución que estos hacen al desarrollo intelectual y
formación multilateral de la personalidad.
El autor alemán
Werner Jungk (75) y el cubano Sergio Ballester (104) plantean que las tareas de
la enseñanza de la Matemática son:
-
Preparar a los jóvenes para
la vida laboral y social.
-
Contribuir al desarrollo del
pensamiento y de las capacidades intelectuales de los alumnos.
-
Contribuir a la reafirmación
de sentimientos patrióticos, hábitos de disciplina, valores morales, normas de
conducta y convicciones.
Atendiendo a las tareas
planteadas, los autores anteriores destacan
que los objetivos de la enseñanza de la Matemática se pueden agrupar en:
- Los objetivos en el campo del
saber y el poder.
-
Los objetivos en el campo del
desarrollo intelectual.
-
Los objetivos en el campo de
la educación ideológica.
Esta división de los objetivos en campos es solamente para su
estudio, en la práctica no se dan aisladamente, ya que existe una relación
dialéctica entre ellos y esta relación, entre lo instructivo y lo educativo,
constituye una de las leyes didácticas.
En particular, la Geometría dentro de la enseñanza de la
Matemática juega un papel relevante por los aportes significativos que hace en
cada uno de los campos citados.
La enseñanza de la Geometría tiene como
objetivo general desarrollar el pensamiento espacial del hombre, de modo tal
que este pueda hacer una mejor interpretación del espacio físico que le rodea
en pos de transformarlo. Pero este
pensamiento espacial sólo se puede desarrollar
en el espacio físico, poniéndose de manifiesto la vía dialéctica del
conocimiento planteada por Lenin.
Según Armando Flórez (59), el pensamiento
geométrico espacial es un tipo de pensamiento matemático que consiste en un
reflejo generalizado y mediato del espacio físico tridimensional con una fuerte
base senso-perceptual y se inicia desde las primeras relaciones del niño con su
medio.
Este objetivo general de la enseñanza de la Geometría repercute de
manera destacada en el desarrollo de la personalidad y educación ideológica de
los alumnos. Su contribución al desarrollo del intelecto ha sido reconocida por
especialistas en la enseñanza de la Matemática de diferentes países. (13) (27)
(140), así como por distintos
psicólogos. (52) (136)
En particular, J. E. Thompson en la
introducción de su libro de Geometría plantea:
“...la
Geometría desarrolla los métodos para obtener nuevas proposiciones desde un
punto de vista científico.
Esta característica hace de la Geometría una Ciencia y un Arte, es
decir, es, al mismo tiempo matemática y filosofía. Forma el sistema más
perfecto de lógica que se conoce, y para todo espíritu amante de la perfección
y la belleza, la Geometría es objeto de constante fascinación.” (140, 3)
Existen
profesores e investigadores que se han detenido en el estudio de la compresión
y razonamiento de la Geometría, entre estos se destacan los holandeses Pierre
Marie Van Hiele y Dina Van Hiele – Gildof
(61) (74), quienes plantearon un modelo de aprendizaje que pretende describir
la evolución en el nivel de razonamiento de los alumnos, desde las formas
intuitivas iniciales del pensamiento, hasta las deductivas. (Anexo 1) Por otra
parte Hoffer (61) ha planteado una tabla en la que aparece la descripción de
las habilidades básicas en cada nivel de razonamiento para la
comprensión de la Geometría. (Anexo 2)
En relación con la inclusión de la Geometría en el currículo,
Claudi Alsina, Carme Burgués y Josep Ma. Fortuny en la presentación
del libro “Invitación a la Didáctica de la Geometría” plantean:
“La enseñanza de la Geometría ha de ser un núcleo central en el
currículo escolar. Se trata de una disciplina útil, deseable y bella que ofrece
tanto resultados interesantes como razonamientos y metodologías de marcado
carácter formativo.” (13,11 )
Por su parte, los españoles A. Martínez y otros (89) plantean las
siguientes cuatro razones para la inclusión de la Geometría en la enseñanza
obligatoria:
1.- Por la
presencia de la Geometría en múltiples ámbitos del sistema productivo.
2.- Porque
contribuye de forma importante al estudio de los elementos de la naturaleza.
3.- Porque es
un componente esencial de las artes.
4.- Porque un conocimiento básico de las formas
geométricas es esencial para orientarse reflexivamente en el espacio, para
hacer estimaciones y cálculos sobre distancias.
Celia Rizo, en su tesis
doctoral referida específicamente a la estructuración del curso de Geometría en
la primaria, también reconoce el papel que juega la enseñanza de la Geometría y
al respecto plantea:
“ La enseñanza de la Geometría es uno de los aspectos esenciales de la
enseñanza de la Matemática en la escuela de educación general, a la cual no se
puede renunciar.” (126, 93)
La experiencia docente que posee el autor de
esta tesis, hace que su criterio acerca de la importancia de la enseñanza de la
Geometría coincida con los autores citados; pero esta sólo pone de manifiesto
su potencialidad, pues como proceso de enseñanza - aprendizaje al fin, su éxito
depende en gran medida de la armonía que
exista entre los diferentes componentes
de este proceso y, sobre todo, de la preparación geométrica y de la maestría
pedagógica del docente.
A pesar de la potencialidad educativa que
tiene, la enseñanza de la Geometría presenta insuficiencias en la escuela de educación
general de nuestro país. Estas insuficiencias comienzan en la escuela primaria
y se ponen de manifiesto en los bajos resultados que se obtienen en las
comprobaciones de Geometría que se aplican por las distintas instancias, así
como en la aplicación de los ítems del Laboratorio Latinoamericano de
Evaluación de la Calidad de la Educación.
Por otra parte, los resultados de
investigaciones realizadas (10) (53) (82) (88) (130) en la provincia de
Cienfuegos, han revelado una insuficiente preparación de los maestros en los
contenidos geométricos. Específicamente, en
los trabajos de diploma
asesorados por la Lic. Rosa Pretell (10) (53) (88) con el
objetivo de conocer las necesidades de superación de los maestros en distintos
municipios afloran necesidades de superación en el complejo de materia de Geometría.
Los
trabajos de diploma (82) (130) asesorados por el autor de la tesis
estuvieron dirigidos a determinar las insuficiencias concretas que presentan
los maestros en su preparación geométrica. Para ello se seleccionó
respectivamente como muestra 110 maestros (47 licenciados) de 13 escuelas
primarias del municipio de Cienfuegos y 17 (10 licenciados) de dos escuelas del
municipio de Abreus.
Las principales dificultades detectadas
estuvieron dadas en:
-
El reconocimiento de figuras
geométricas elementales incluidas en otras compuestas.
-
El dominio de las
características suficientes y necesarias para la elaboración de los conceptos
de las figuras geométricas.
-
Las habilidades en el uso de los instrumentos de dibujo.
-
El dominio de la
fundamentación matemática de la estructura del curso de Geometría de la escuela
primaria. ( Anexo 3)
También en las respuestas de un
cuestionario aplicado a un total de 61 maestros (41 licenciados) en un curso de
superación sobre Geometría, impartido en cuatro municipios de esta provincia,
los maestros reconocen que presentan dificultades, tanto en el orden del
contenido, como en el metodológico, al
abordar las temáticas de Geometría. (Anexo 4)
En las investigaciones citadas, así
como en el cuestionario aplicado, se pudo constatar que los maestros tienen
poca inclinación hacia las clases de Geometría. (Anexos 3 y 4)
Las dificultades anteriores corroboran el siguiente planteamiento
que hace Celia Rizo, en su tesis doctoral, al referirse a las insuficiencias de
los niños en Geometría:
“... no obstante, queremos
dejar por sentado nuestro criterio en cuanto a que estamos convencidos de que
un factor determinante en los problemas que existen está dado por la poca
preparación en los contenidos
geométricos que tienen muchos maestros.”
(126, 16)
La preparación
geométrica de los maestros en formación está incluida en el programa de la
Disciplina Matemática de la Licenciatura en Educación Primaria (120), vigente
desde el curso 91-92 con la puesta en práctica del Plan de Estudios C. Esta disciplina persigue preparar a los
maestros para poder fundamentar, desde el punto de vista matemático, los
contenidos que se trabajen en la escuela
primaria, sin embargo, las investigaciones mencionadas ponen de manifiesto que
el cumplimiento de los propósitos de esta disciplina presenta insuficiencias,
específicamente, en lo relativo a la preparación geométrica.
Al analizar los componentes que conforman la
estructuración del programa de la Disciplina Matemática en la formación de
maestros primarios se pudo comprobar que las indicaciones metodológicas y de
organización de la Disciplina se limitan en lo esencial a orientar por qué libro abordar los distintos conceptos y
propiedades geométricas. En cuanto a la estructuración científico- metodológica
plantea:
“ No se realiza una construcción axiomática de la
Geometría Plana, aunque se recomienda como texto Conceptos básicos de la
Geometría 1 y 2 de Horst Müller. En este sentido en la primera actividad se
debe dar la idea de las características de un sistema de axiomas(...) Deben ser cuidadosos con el uso de las
notaciones, pues no se cuenta con un libro de texto único para el desarrollo de
los contenidos.” ( 120,18)
Teniendo en cuenta la rigurosidad axiomática que se
desarrolla en los textos de Müller, resulta contradictorio recomendarlos como
bibliografía básica, si no se va a seguir una construcción axiomática y por
otra parte, con una actividad inicial no podrá esclarecerse de manera objetiva
la esencia de una construcción axiomática; además esta situación carece de
sentido si después no se ejemplifica en
el desarrollo del programa. Al respecto, Alberto Valle declara en su tesis
doctoral (143), referida a la preparación matemática de los estudiantes de la
Formación de maestros primarios, que los libros de Müller no son comprendidos
por los estudiantes, tanto por su simbología, como por su rigor, por lo que
deben ser modificados.
En las referidas indicaciones metodológicas, también se dan
orientaciones del empleo de otras bibliografías para abordar determinados
contenidos, a continuación se plantean algunas de ellas:
- Se sugiere considerar los conceptos básicos según Starke –
Türke.
-
El concepto de rectas
perpendiculares se podrá tratar como en el libro de texto de Matemática de
tercer grado.
-
Los conceptos de los pares de
ángulos se estudian según el libro de texto Matemática 6 y los teoremas
correspondientes por Starke – Türke.
-
La clasificación de los
cuadriláteros se debe trabajar por el
libro de texto Matemática 7.
-
Se sugiere que la deducción de las
fórmulas para calcular el volumen de los cuerpos geométricos se realice por los
textos Matemática 7 y 8.
-
Además se orienta como literatura
complementaria al libro “Geometría”. Matemática segundo curso de Miyares – Escalona.
Esta diversidad de bibliografías presenta
desventajas:
-
En el orden científico el contenido
no está estructurado con el mismo criterio, por ejemplo, el libro de
Starke-Türke, así como los de Müller desarrollan de forma explícita una construcción
axiomática de la Geometría Plana, en particular lo hacen tomando el concepto
movimiento como concepto primario; sin embargo en la escuela primaria se
estructura considerando el concepto congruencia como básico.
-
En el orden metodológico, los textos
que se orientan de la enseñanza general, como es lógico, no desarrollan los
contenidos con el enfoque profesional de un maestro primario. En el caso de los
textos de Müller y de Starke- Türke, aunque fueron escritos para aquellas
personas que se dedican a la enseñanza de la Matemática, no fueron concebidos
teniendo en cuenta las condiciones y necesidades concretas de la formación de
un Licenciado en Educación Primaria en Cuba.
Lo analizado hasta aquí permite plantear que existen algunas
deficiencias generales en el tratamiento de la Geometría durante la formación
de los Licenciados en Educación Primaria, que repercuten en el desempeño de su práctica profesional, de ahí
que el problema científico de esta investigación es:
¿Cómo contribuir a que los alumnos de la Licenciatura en
Educación Primaria mejoren su preparación relativa a los contenidos geométricos
básicos para el ejercicio de la profesión?
Este problema científico tiene distintas aristas, por lo que
teniendo en cuenta las reflexiones realizadas hasta aquí se formulan las
siguientes preguntas científicas con el propósito de cerrar la
amplitud de la investigación:
-
¿Cómo se ha abordado
históricamente la preparación geométrica en la formación de los maestros
primarios en Cuba?
-
¿Qué principios deben
regir el tratamiento de los contenidos geométricos en la Licenciatura en
Educación Primaria?
-
¿Cómo se podría elaborar
un libro de Geometría Plana para la formación de Licenciados en Educación
Primaria?
Se precisa que el objeto
de esta investigación es el proceso de enseñanza- aprendizaje de la
Geometría en la Licenciatura en Educación Primaria y su campo
de acción es el tratamiento metodológico del contenido
geométrico y la literatura docente de Geometría Plana para la formación de
Licenciados en Educación Primaria.
El objetivo de la investigación es:
Propuesta de principios
metodológicos para el tratamiento de los contenidos geométricos en la
Licenciatura en Educación Primaria y su materialización en la elaboración de un
libro de Geometría Plana para esta carrera.
Durante el proceso
de investigación se desarrollaron las siguientes tareas científicas:
1.- Determinar tendencias
de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios en Cuba.
2.-Precisar,
caracterizar y fundamentar principios
metodológicos que deben regir el tratamiento del contenido geométrico en la
carrera de Licenciatura en Educación Primaria.
3.-Determinar
pasos metodológicos para elaborar un libro de Geometría Plana para la
Licenciatura en Educación Primaria.
4.-Elaborar un libro de
Geometría Plana en el que se concreten los principios metodológicos propuestos.
En la ejecución de las
tareas científicas de la investigación se utilizaron métodos del nivel
teórico y empírico, así como del nivel matemático.
Entre los métodos
teóricos se empleó el análisis histórico - lógico de la
literatura y documentación relacionada con el tratamiento de la Geometría en la
formación de maestros primarios desde la etapa colonial en Cuba; el análisis-síntesis,
inducción-deducción y generalización en el estudio que se realizó de la
literatura sobre la construcción axiomática de la Geometría, de los materiales
docentes de los diferentes grados de la
escuela primaria y de la Disciplina Matemática de la Licenciatura en Educación
Primaria, así como del estudio que realizó de artículos relacionados con los
fundamentos teóricos y metodológicos de la elaboración de literatura docente.
Del nivel empírico
se aplicaron cuestionarios a profesores con experiencia en el desarrollo de
los temas de Geometría en la Licenciatura de Educación Primaria, con el
objetivo de recoger criterios acerca del estado actual de la enseñanza de la
Geometría en este nivel, relativos a los
contenidos, estructuración axiomática, vía congruencia - movimiento y a
la literatura docente con que se cuenta para la enseñanza de la Geometría en
esta carrera.
También se aplicó
un cuestionario
a profesores jubilados que laboraron en la formación y/o superación de
maestros, para recoger información relativa al tratamiento de la Geometría en
planes anteriores y obtener algunos criterios sobre sus experiencias en la
enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios.
Además se han
aplicado cuestionarios de entrada y de salida a estudiantes de la
Facultad de Educación Primaria de Cienfuegos para hacer algunas valoraciones
acerca de su motivación por el estudio de la Geometría y el dominio de aspectos
generales de una construcción axiomática. También se les aplicó un cuestionario
para recoger opiniones acerca del libro elaborado, y entrevistas a los
profesores de dicha facultad que han aplicado los principios y trabajado con el
libro propuesto.
Para el
procesamiento de la información recogida por medio de los cuestionarios y
entrevistas aplicadas, del nivel matemático estadístico se emplearon métodos
descriptivos, tales como la
frecuencia, media, mediana, modo, cálculo porcentual y representación
gráfica.
La novedad
científica de esta tesis está dada en que incursiona, en primer
lugar, en la metodología de la enseñanza de la Geometría para la formación del Licenciado en Educación
Primaria, con una propuesta de principios metodológicos que deben regir esta
enseñanza, y en segundo lugar, valora aspectos teóricos sobre la estructuración
de una literatura docente, específicamente presenta un libro de Geometría
Plana, elaborado para la Licenciatura en Educación Primaria.
Los aportes están en
correspondencia con las preguntas científicas realizadas en función del
problema de la investigación. Un aporte teórico es la caracterización histórica
que se hace de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros
primarios en Cuba, desde la etapa colonial, la que concluye con una cronología
y tendencias. En relación con la metodología de la enseñanza de la Geometría en la formación de Licenciados
en Educación Primaria se hace un aporte teórico al precisar, caracterizar y
fundamentar principios metodológicos que deben regir el tratamiento de los
contenidos geométricos. El aporte
práctico se materializa en la modelación de los pasos metodológicos para la
elaboración de un libro y en la propuesta de uno de Geometría Plana para la Licenciatura en Educación Primaria,
en el que se ponen de manifiesto los principios planteados.
CAPÍTULO
I LA ENSEÑANZA DE LA GEOMETRÍA EN LA
FORMACIÓN DE MAESTROS PRIMARIOS
Este capítulo tiene como objetivo analizar los antecedentes en el
campo de la investigación y hacer
precisiones con respecto a la problemática que aborda la tesis. Para dar
cumplimiento a este objetivo se parte primeramente de una caracterización de la
enseñanza de la Geometría en la escuela primaria, desde el comienzo del siglo
XX, hasta los momentos actuales. También se hace referencia a tendencias de la
enseñanza de la Geometría en la escuela primaria en otros países.
Posteriormente se hace un análisis
histórico – lógico de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros
primarios, desde la segunda mitad del siglo XIX, hasta los momentos actuales.
En este análisis se precisan tres aspectos fundamentalmente: contenido, orientaciones
metodológicas y la literatura docente. Se concluye con una cronología y
tendencias de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros
primarios en Cuba.
1.1.- Breve reseña histórica de la enseñanza de la
Geometría en la escuela primaria en Cuba
Desde el comienzo del siglo XIX existen pedagogos cubanos que
reconocen la importancia de la enseñanza de la Geometría. Entre ellos se
encuentra Alfredo Aguayo, quien en su libro de Pedagogía de 1924 (9) expone algunos criterios en
relación con la enseñanza de la Geometría. Este pedagogo considera que la
Geometría es la ciencia de las abstracciones que el entendimiento hace respecto
a las formas y que estas abstracciones se obtienen de observar y palpar los
objetos que rodean a los hombres. Reconoce que estas formas son infinitas, pero
que la Geometría Elemental sólo estudia algunas de ellas.
En relación con los fines del estudio de la Geometría elemental,
Aguayo destaca dos, uno práctico o utilitario y uno cultural. En el primero
contempla los problemas de medición de líneas, superficies, y sólidos; y se
lleva a cabo en correlación con la aritmética y el dibujo. El segundo, que
también denomina disciplinario, plantea que está dado por la lógica de la
Geometría, es decir por tratarse de una disciplina de hábitos de exactitud,
claridad y orden.
Aguayo considera que la Geometría se adapta bien a los intereses
infantiles, siempre y cuando se ofrezcan
al niño sus aplicaciones prácticas y da algunas indicaciones para su
tratamiento en los primeros grados. Entre estas indicaciones están:
n La enseñanza de la Geometría en
los primeros grados debe reducirse a un conocimiento de las figuras geométricas
y de sus nombres, con un estudio de algunos hechos elementales y de sus
aplicaciones sencillas y fáciles a las necesidades de la vida diaria.
n Las lecciones deben unirse
fuertemente a los intereses y valores del niño. El dibujo geométrico es un
auxiliar muy eficaz de esta enseñanza, que debe hacerse de una manera
heurística, utilizando la intuición y la inferencia, de acuerdo con el
desarrollo de la mente infantil.
n Desde el cuatro grado de la
escuela primaria, el estudio de la Geometría debe hacerse, como en los grados
inferiores, en estrecha relación con el dibujo y la aritmética. Con un poquito
de trabajo, el maestro puede construir modelos de figuras y de sólidos hechos
de cartón o cartulina. Las propiedades más importantes de las líneas y figuras
se estudiarán por procedimientos heurísticos; y en cuanto a los volúmenes, es
fácil descubrir la fórmula para calcularlos, llenando de arena fina los modelos
en hueco que haya preparado el instructor. El niño debe llegar al conocimiento
de las verdades geométricas por medio de mediciones, dibujos, construcciones y
superposiciones de figuras; nunca por demostraciones lógicas y solamente en el
último grado puede llegarse a la demostración de las proposiciones más
sencillas (semejanza de figuras, teoremas de Pitágoras, etc.)
Dulce M. Escalona (56) destaca, igualmente, que en la enseñanza
primaria elemental la Geometría tiene carácter informal y se llega al dominio
de ciertas propiedades geométricas a través de la inducción basada en la
observación, se hacen mediciones y se utiliza ampliamente al modelado y al recortado de figuras. Al respecto
expresa:
“ ... esta preparación básica falta casi siempre a los alumnos que
ingresan en nuestras escuelas secundarias y que una de las medidas a tomar
consiste en garantizar la oportunidad de adquirir el entrenamiento
indispensable para iniciar con éxito el estudio de la Geometría Deductiva.”(56, 189)
Por su parte, Gloria Ruiz en su libro “ Como enseñar aritmética en la
escuela primaria.” (129), en 1965, da orientaciones metodológicas para el
tratamiento de la Geometría:
§ El aprendizaje de las nociones
geométricas en la escuela primaria se desarrolla íntimamente relacionado con el
aprendizaje de las medidas.
§ Las nociones geométricas se
adquieren en los primeros grados de modo informal, sin entrar en sus
definiciones.
§ El aprendizaje de las nociones
geométricas, como el de todo asunto matemático, requiere un ascenso gradual de
lo concreto a lo abstracto. Este ascenso debe realizarse pasando por
etapas:
- una etapa inicial de objetivación absoluta
-
por etapas de representaciones objetivas cada vez más estilizadas
-
por etapas de representaciones pictóricas
-
por la etapa final que conduce a la meta, a la abstracción pura
§ El aprendizaje ha de ser siempre
intuitivo; con observaciones y actividades diversas los alumnos irán elaborando
las nociones geométricas.
§ No basta la intuición que se produce cuando
mostramos los cuerpos, es necesario que los cuerpos se pongan en las manos de
los niños, que los observe manipulándolos, que construyan figuras, que las
palpen y que las utilicen.
§ En cuanto a los materiales, han
de ser abundantes en número y en calidad. No basta un prisma, un cono, una
figura, es necesario que haya varios de distinto tamaño y color.
Celia Rizo en su artículo (127)
sobre la historia de la enseñanza de la
Geometría en los niveles medio y elemental en Cuba, hace una caracterización de
esta enseñanza a partir de los primeros años de la República. A continuación se
hace una síntesis de esa caracterización en la escuela primaria: .
Primera etapa: 1901- 1914
No se estudia propiamente Geometría, sino que desde primer grado se
trataban muchos conocimientos geométricos de manera informal dentro de los
programas de Dibujo y Trabajo Manual. No obstante, es en esta etapa donde más
conocimientos se dan en la primaria antes del Triunfo de la Revolución.
Segunda etapa: 1914-1926
Son eliminados los conocimientos geométricos, que se daban
mediante el Trabajo Manual, y se limitaron a darlos en Dibujo a partir de
cuarto grado. Se reducía a distinguir figuras y cuerpos y trazarlos con los
instrumentos usuales.
Tercera etapa: 1926 – 1961
Se introduce por primera vez el estudio de los contenidos geométricos
dentro del programa de Aritmética, a partir de sexto grado y desde quinto
dentro del dibujo.
Cuarta etapa: 1961 – 1967
Se incluye en los programas de Matemática, desde preescolar hasta sexto grado. Los programas no
respondían a las reformas que se estaban produciendo en el mundo
y estaban
concebidos a partir de un estudio intuitivo de la geometría euclidiana,
desprovisto de rigor y dirigidos, fundamentalmente, al reconocimiento y las
primeras ideas de mediciones y las unidades de medidas.
Quinta etapa: 1968 – 1987
Se implantan los programas adaptados de la
RDA. Por primera vez en la primaria el curso de Geometría se estructura sobre
bases científicas. Estaba dirigido hacia un sistema de axiomas que se obtuvo
del sistema de Hilbert, sustituyendo el grupo de axiomas de congruencias por
uno de movimientos. La estructuración anterior no se emplea directamente como
modelo en la escuela, pues no se considera asequible para los alumnos. Aunque
el curso de Geometría está basado en los movimientos, este no se considera como
concepto primario.
Esta caracterización realizada por Celia Rizo
sólo llega hasta 1987, pero a partir de este año hasta los momentos actuales se
puede considerar una nueva etapa. Esta sexta etapa (1987- ...), se
distingue por la elaboración de programas, orientaciones metodológicas y libros
de textos teniendo en cuenta la realidad cubana, así como las características
del personal docente y de los alumnos.
En resumen, la enseñanza de elementos geométricos en la
escuela primaria en Cuba estuvo incluida, principalmente durante la primera
mitad del siglo XIX en los programas de Dibujo y sólo en la primera década del
siglo la asignatura Geometría se impartió en todos los grados de la primaria.
Tanto el pedagogo A.. M. Aguayo, Dulce M. Escalona como Gloria Ruiz
reconocen el papel de la intuición en la enseñanza de la Geometría en la
escuela primaria, resaltando que el niño debe llegar al conocimiento de
verdades geométricas por medio de mediciones, dibujos, construcciones y
superposiciones de figuras. En los primeros años de la Revolución se impartía
Geometría como parte del programa de Matemática, aunque tenía un carácter muy
intuitivo, su estructuración no tenía una fundamentación matemática y no es
hasta 1967 con la implantación de los
programas de Matemática de la R.D.A., que la estructuración de la Geometría se
realizó sobre bases científicas, con ciertas simplificaciones por razones
didácticas.
1.2.- Caracterización del curso actual de Geometría
de la escuela primaria en Cuba
En la enseñanza de la Geometría del primer ciclo, los niños se
familiarizan con los primeros conceptos geométricos, sus relaciones y algunas
propiedades, sobre la base de un carácter totalmente propedéutico, práctico,
intuitivo y perceptual.
Este carácter conlleva a que el alumno
desarrolle actividades prácticas de modo
que observe, dibuje, manipule, modele, recorte, componga, descomponga las
figuras y cuerpos y a partir de estas actividades experimentales, pueda
percibir adecuadamente sus formas y reconocerlas, tanto en el medio, como en
modelos o en situaciones más complejas.
Los objetivos esenciales de la
enseñanza de la Geometría en este ciclo son:
·
Aprender a reconocer,
representar y describir las figuras geométricas fundamentales según sus
características.
·
Desarrollar habilidades en la obtención de
figuras por calcado, recorte, composición y descomposición a partir
de modelos y como abstracciones de objetos del medio, así como
representarlas a partir de descripciones verbales o de representaciones sobre
un plano.
·
Aprender a reconocer y
describir las relaciones elementales entre las figuras geométricas sobre una
base intuitiva operativa, sin el empleo de ningún tipo de formalización
matemática.
·
Desarrollar habilidades en el
trazado de rectas y segmentos, paralelos y perpendiculares con ayuda de regla y
cartabón, así como en el manejo del compás para trazar circunferencia y aplicar estas habilidades en la construcción
de figuras planas.
En general, la enseñanza de la
Geometría, en este ciclo, persigue el desarrollo paulatino en loa alumnos del
pensamiento espacial, la capacidad de observar,
una expresión oral y escrita que les permita describir y argumentar sus
opiniones, el pensamiento lógico, las
cualidades en el orden estético y la
capacidad de análisis-síntesis que les permita ver figuras y cuerpos
como un todo.
En el segundo ciclo de la escuela primaria,
la enseñanza de la Geometría tiene entre sus propósitos continuar el desarrollo
de las habilidades y capacidades
iniciadas en los primeros grados. Específicamente, en quinto grado, la
enseñanza de la Geometría constituye una etapa de tránsito, entre la intuitiva
del primer ciclo y la Geometría de sexto grado, que combina la geometría intuitiva
y la deductiva, creando las condiciones para la geometría deductiva, que se trabaja con mayor peso a
partir de séptimo grado.
Los objetivos generales de la enseñanza de la
Geometría del segundo ciclo son:
·
Sistematizar los conocimientos sobre figuras elementales del plano y
sus propiedades esenciales; en especial, el estudio detallado de los
triángulos.
·
Aprender el concepto de movimiento como una correspondencia especial
entre los puntos del plano.
·
Comprender y poder reproducir las demostraciones de los teoremas
esenciales y resolver en forma independiente ejercicios y problemas de
reconocimiento, cálculo, construcción y demostraciones sencillas.
·
Poseer habilidades en la realización de construcciones geométricas.
En el anexo 6 aparece un cuadro en el que se enumeran los
conceptos geométricos tanto de objetos como de relaciones y operaciones que deben haber adquirido los
alumnos al concluir la enseñanza primaria y
en el siguiente cuadro se hace, específicamente, un resumen de los
conceptos de los objetos geométricos fundamentales que los alumnos deben
dominar.
La fundamentación matemática de este curso está dada por un sistema de
axiomas elaborado por Celia Rizo. (Anexo 5) Este sistema no es puro, en el sentido de que los
conceptos de congruencia y longitud aparecen mezclados, lo que se argumenta por
la necesidad del carácter intuitivo de la enseñanza de la Geometría en los
primeros grados.
Esta fundamentación del curso de Geometría no se presenta
explícitamente a los alumnos por razones
didácticas; pues como es lógico su nivel de madurez no les permite la
comprensión de esta estructuración; criterio que coincide con los distintos
niveles de razonamiento para la comprensión de la Geometría, planteada por los
profesores Van Hiele. (Anexo 1) No obstante, el contenido de los axiomas sí es
abordado de manera natural en la primaria, sin el empleo del término “axioma” y
específicamente en sexto grado se habla de ciertas propiedades fundamentales a
partir de las cuales se pueden enunciar otras y demostrar teoremas, y se hace
alusión a los cinco postulados de Euclides, como cinco propiedades que
constituyen el cimiento del edificio geométrico construido por él.
En resumen, actualmente
la enseñanza de la Geometría se mantiene en todos los grados de la escuela
primaria y tiene una fundamentación matemática basada en un sistema de axiomas.
En el primer ciclo tiene un carácter intuitivo- operativo y en el segundo, va
adquiriendo un carácter deductivo.
1.3.- Tendencias sobre la enseñanza de la Geometría
en el nivel primario en otros países
José J Arrieta de la Universidad
de Oviedo en una conferencia impartida en la
Universidad de Cienfuegos en el curso 1997-1998, hizo referencia a que en los recientes ICME (Congreso
Internacional de Matemática Educativa) se han realizado las siguientes
reflexiones con respecto a la enseñanza de la Matemática:
-
A cada etapa le corresponde
su rigor.
-
Apoyo continuo en lo
concreto, en la realidad.
-
Atender a la historia y
respetarla.
-
Extenderla como un saber
hacer mediante de la resolución de problemas.
-
Destacar la importancia de la
inducción y el empirismo.
En relación con la enseñanza de la Geometría se plantea recuperar
el pensamiento geométrico y la intuición espacial.
Efectivamente, con la llegada de
la denominada Matemática Moderna, la Geometría que tradicionalmente había sido
estudiada detenidamente en la escuela primaria pasó a un segundo plano, de modo
que los pocos temas geométricos que se abordaban aparecían en los últimos
capítulos, por lo que muchas veces no se brindaba la atención necesaria.
En nuestros días la Geometría está
recobrando el puesto que merece en la enseñanza obligatoria, siendo esta una de
las temáticas sobre la que más han escrito, en el campo pedagógico, los
profesores de Matemática en el mundo.
En países como España y Colombia
se aboga por una clase de Geometría en la que los alumnos interactuen como un
grupo, aportando toda su creatividad y razonando cada nueva situación que
se les presente.
En la literatura consultada de ambos países (13) (14) (27)
(61) se toma como premisa para el pleno desarrollo del conocimiento geométrico
la relación del niño, desde que nace, con las diferentes formas y el espacio
que le rodea. Al respecto, Claudi Alsina, Carmen Burgués y Josep María Fortuny,
plantean:
“… Desde la más
temprana infancia se experimenta directamente con las formas de los objetos, ya
sean juguetes o utensilios cotidianos y familiares… Este conocimiento del
espacio ambiental que se apropia directamente, primero sin razonamiento lógico,
es lo que constituye la intuición geométrica. La primera invitación a la
Geometría se realiza así, por medio de la intuición”. (13,14)
Estos autores españoles destacan la
incidencia del entorno, en su sentido más amplio, en los estudios geométricos y
critican que en la enseñanza, a menudo, se confunde el entorno con el aula; la
realidad con la pizarra. Enfatizan en que la interacción entre Ciencia, Técnica
y Geometría proporcionan un marco de referencia básico para enfocar el proceso
de la educación geométrica y que las situaciones de aprendizaje de la Geometría
se ven fuertemente motivadas cuando se parte de las referencias de los
fenómenos científicos y tecnológicos. Además, consideran de enorme interés
didáctico plantearse el uso del entorno artístico en la enseñanza de la
Geometría elemental y en general valoran de muy importante la actividad
espacial en el entorno natural pues plantean que esta constituye el soporte
adecuado del proceso de conceptualización espacial ya que propicia el
conocimiento operacional de las nociones espaciales y permite estructurar las
operaciones mentales que dan lugar a la representación espacial.
Específicamente María Antonia Canals expresa:
“Esta idea de la Geometría aprendida
intuitivamente a partir de la vida cotidiana, y reforzada en algunos aspectos
por las prácticas escolares adecuadas, será en las líneas que siguen como un
punto de partida y desearía que fuese también como un telón de fondo que vuelve
a aparecer de vez en cuando.” (27,
32)
María A. Canals insiste en
partir de objetos de la vida cotidiana, de que el niño descubra las propiedades
de las figuras y cuerpos geométricos en su entorno inmediato, en objetos
grandes y pequeños y que así es como se adquiere un verdadero conocimiento
geométrico. Considera que
mostrando modelos de figuras o cuerpos elaborados con fines didácticos puede ser un primer
conocimiento, pero que no pasa de ser un conocimiento sensorial, si no se logra
implicar el pensamiento lógico matemático del niño.
En resumen, la tendencia actual de la enseñanza de la
Geometría en edades tempranas, en otros países, es que tenga un carácter
intuitivo, y que el entorno, la naturaleza, el medio que rodea al niño sea el
gran manantial para la obtención de los primeros conocimientos geométricos y
que además el niño tenga una participación activa en esta obtención, ocupando
el papel de redescubridor de las distintas relaciones y propiedades geométricas.
1.4.- La enseñanza de la Geometría en la formación
de maestros primarios en Cuba
En cuanto a la historia de la enseñanza de la Geometría en la
formación de maestros primarios no se conoce ninguna investigación precedente,
específicamente en este epígrafe se hace un análisis histórico – lógico de la
enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios desde la
segunda mitad del siglo XIX. Para la ejecución de este análisis se realizó una amplia revisión bibliográfica y se aplicó
un cuestionario a profesores de distintos planes de formación de maestros
primarios que han existido en Cuba.
Para este análisis histórico-lógico se consideraron tres períodos:
·
(1511-1898) Período Colonial
·
(1899-1958) Período Neocolonial
(Ocupación Militar hasta el Triunfo de la Revolución)
·
(1959- ... ) Período de la Revolución en el Poder.
1.4.1- Período Colonial
Desde esta etapa colonial
comienza la preocupación por la formación de maestros. José de la Luz y
Caballero en 1833 ya luchaba por renovar la enseñanza para lo cual reconocía
que era necesario contar con buenos maestros y que estos no podían improvisarse.
Luz crea un proyecto para formar maestros, pero este no llega a materializarse
por razones de la formación socioeconómica existente en el país.
En el año 1842, el Gobierno Español dicta el Plan de Instrucción Pública
para la Isla de Cuba y a partir de este momento el Estado Español se hizo cargo
de la instrucción pública. Esta ley establece la titulación de los maestros
como una necesidad, por lo que propone la creación de una Escuela Normal; pero no es hasta 1857, bajo el Gobierno del
General José Gutiérrez de la Concha que se crea la primera Escuela Normal de
Maestros. Se funda en Guanabacoa, dirigida por los Padres Escolapios y en ella
se preparan maestros para la enseñanza elemental y superior con una duración de
dos años. Los estudios priorizados son los referidos a la religión y en lo
científico, el Plan se limita a nociones sobre las ciencias. Esta Escuela
Normal funciona sólo hasta el inicio de la Guerra de los Diez Años, 1868.
Durante el funcionamiento de esta Escuela Normal tiene lugar el establecimiento
de un plan para la Isla de Cuba, que fue aprobado como Real Decreto el 25
de agosto de 1863.
(121)
En dicho decreto se establece (sección primera, título III, capítulo III,
artículo 136) que para aspirar al título de maestro de primera enseñanza,
además de haber estudiado como mínimo dos años en la Escuela Normal se requiere
cursar distintas asignaturas entre las que se encuentran: Nociones de
Geometría, Dibujo Lineal y Agrimensura, con una duración de un curso. En el
artículo 137 se plantea que esta asignatura se impartiría con una frecuencia de
tres lecciones por semana y el 138, que los alumnos la podrían estudiar en el
orden que juzguen a condición de que la
Aritmética la precediera.
En el artículo 140 del mismo
título y capítulo se exige para los aspirantes al título de maestros de escuela
superior, aprobar un curso de Geometría y Dibujo lineal con dos lecciones
semanales, además del planteado en el artículo 136.
En 1872 funciona la Escuela Preparatoria para Maestros, creada por la Real
Sociedad Económica de Amigos del País, escuela que sirve para organizar el
antiguo sistema de habilitar maestros elementales. Al terminar la Guerra de los
Diez Años, el estado de la escuela continúa siendo deplorable.
En 1880 se promulga un nuevo Plan de Instrucción Pública en la que se
planteaba que los maestros tienen que ser nombrados por el Gobierno o por sus
delegados y para ejercer en las escuelas públicas era necesario poseer el
título de maestro normalista. En 1890 la Reina Regente María Cristina firma un
decreto creando las Escuelas Normales de que se hablaba en el Plan de 1880,
pero no es hasta 1892 que se abren en La Habana, una para varones y otra para
señoritas.
Emma Pérez en su libro" Historia de la Pedagogía en Cuba" (115)
plantea que el artículo 19 del Reglamento de estas escuelas establece como
objeto de estudio, Dibujo como una asignatura para los maestros y el artículo
20 exige Geometría y Dibujo aplicado como asignatura para las maestras. Pero no
fue posible encontrar información específica en relación con los contenidos de
estas asignaturas.
Los profesores de estas escuelas son españoles y los directores son
traídos expresamente de España para ejercer esta función, política que pone de
manifiesto los sentimientos de odio y mala voluntad hacia los cubanos y que
somete la educación en Cuba en un gran atraso. En 1895, al comenzar la guerra
de independencia las Escuelas Normales contaban con muy pocos alumnos y en los
últimos años de la guerra estas son cerradas, lo que obedece a la política
colonial de no dejar en pie en la Isla escuela de ninguna clase, por considerar
que atentan contra los intereses de España y son formadoras de mambises.
En resumen, de la
documentación consultada correspondiente a este período de la educación en
Cuba, específicamente a partir de 1857,
se tiene que:
·
El dominio de contenidos geométricos aparecía como una exigencia
para ejercer la profesión de maestros primarios, según lo planteado en el Real
Decreto del 25 de agosto de 1863, aunque en ninguno de los documentos
encontrados aparecen cuáles son esos contenidos.
· Se exigía que los maestros
tuvieran habilidades de dibujo.
· No se halló bibliografía sobre
Geometría, específicamente para la formación de maestros primarios, ni
orientaciones en el orden metodológico para impartirla.
1.4.2- Período
Neocolonial
Al producirse, el primero de enero de 1899, de
manera oficial el traspaso de la autoridad colonial española al ejército de
ocupación militar, el país se encuentra en condiciones muy precarias. Como
consecuencia de la guerra de 1895 y de la política asumida por los españoles,
específicamente, en el campo de la instrucción no existe un verdadero sistema
educacional. Los norteamericanos se aprovechan de estas circunstancias para
dictar órdenes militares como instrumentos de penetración en la conciencia
nacional, con el fin de crear un ambiente favorable y lograr así sus propósitos
iniciales de anexión.
El número de aulas y de escuelas que surgen con la
nueva organización escolar, implantada por los norteamericanos, trae consigo la
necesidad de muchos maestros para cubrir las aulas y con este propósito los
intervencionistas establecen tres vías para la formación de maestros: por medio
de exámenes, cursos en los Estados Unidos y cursos en las Escuelas Normales de
Verano.
El 16 de mayo de 1900, el Gobierno
Militar de Ocupación emite la orden militar no. 199, en la que se da a conocer
el proyecto de la excursión científica y pedagógica a los Estados Unidos. Este
proyecto consiste en cursos en la Universidad de Harvard, y las autoridades de
ocupación persiguen con él conformar y controlar la gran masa de maestros de
enseñanza elemental para contar con un contingente de personas preparadas
capaces de fundir las supuestas ventajas del sistema de vida norteamericano. En
relación con la preparación geométrica que se recibe en estos cursos no se
halló información alguna.
Con la Orden Militar No. 368,
publicada en la Gaceta Oficial el 1 de agosto de 1900, los intervencionistas
establecen la preparación de los maestros
por medio de exámenes. Los primeros exámenes se realizan en febrero de
1901 y reciben el nombre de exámenes de certificado. De acuerdo con la
calificación que se obtuviese se le otorgaba respectivamente el certificado de
primer, segundo o tercer grado.
Entre las materias a examinar se
encuentra Dibujo. En la Guía para los Exámenes de Maestros Cubanos de primero,
segundo y tercer grados de 1904, en cuya elaboración tienen participación
patricios como Enrique José Varona, Manuel Sanguily, Alfredo M. Aguayo y otros
bajo la dirección Carlos de la Torre,
aparece el programa oficial de Dibujo acordado por la junta de superintendentes
de escuelas públicas de Cuba, el 25 de noviembre de 1903. (86)
En el referido programa aparecen
las siguientes temáticas: líneas, ángulos, figuras rectilíneas, cuadriláteros,
polígonos regulares, reducción y ampliación de figuras, circunferencia y
círculo, circunferencias concéntricas, polígonos inscriptos y circunscriptos,
dibujos de objetos, diseño de hojas y de animales. Como se observa, las
primeras temáticas abordan elementos geométricos necesarios para el dibujo,
objetivo final de este programa. Dentro del programa de Dibujo se incluyen
algunos conocimientos geométricos. Esta concepción coincide con la
caracterización que realiza Celia Rizo en su artículo sobre la historia de la
enseñanza de la Geometría en los niveles medio y elemental en Cuba. (127)
Mediante la orden no 29, el 4 de
febrero de 1902 se constituyen las Escuelas Normales de Verano. En estos cursos
de verano se desarrollan conferencias por especialistas estadounidenses y
algunas de ellas de dedican al tratamiento del Dibujo, aunque no se pudo
conocer qué contenidos se abordaban.
En 1915 se comienza a organizar
nuevamente la formación regular de maestros primarios, creándose las primeras
Escuelas Normales de la República Neocolonial. Al respecto la Secretaría de
Instrucción Pública y Bellas Artes aprueba el 16 de marzo de ese año la ley
relativa a la creación de estas escuelas y su reglamento.
En esta ley del 16 de marzo se
plantea en la página 27 que los alumnos recibirían la asignatura Geometría en
el segundo y tercer años de la carrera. (Anexo 7)
Posteriormente en el Reglamento para las
Escuelas Normales de la República (122) publicado en 1927, en las páginas 46 y
47 se plantea una nueva distribución para las disciplinas correspondientes a la
formación matemática y en ella se concibe la Geometría Elemental en el tercer
año con una frecuencia de tres horas. (Anexo 8)
Como se puede observar se reducen
las horas dedicadas a la Geometría, al igual que a la Aritmética y al Álgebra y
se aumentan las horas de Metodología.
Los objetivos y los contenidos de las distintas asignaturas
no aparecen en estos dos últimos documentos
y según se conoce por otras investigaciones, en aquel entonces no se
exigía un programa único para todas las Escuelas Normales.
En 1929 se inicia, en Cuba, el plan de estudios para las Escuelas
Normales, regido por el Decreto Número 1,153
de la República, en el que se plantea como quinta indicación general:
“... en la enseñanza de las matemáticas, debe
intensificarse la resolución de problemas aritméticos y la realización de
figuras geométricas para la objetivación de esta materia, todo lo que sea
posible.” (133, 38)
Según ese decreto, el plan de
estudios de las escuelas normales tiene una duración de cuatro años. En ese
plan se conciben tres asignaturas de Geometría y seis de Dibujo, distribuidos
en ambos casos durante los primeros tres años; y aparece en cuarto año,
Metodología de la enseñanza de la Geometría. (Anexo 9)
En dicho decreto aparecen los
contenidos correspondientes a los cursos de Geometría de cada año. (Anexo
10) En primer año se comienza con
definiciones de líneas y se termina con un estudio amplio sobre los polígonos.
Para el desarrollo de este primer curso no se exige demostración geométrica
alguna, sólo aquellas que el maestro considere indispensables, pues este curso
se considera preparatorio para otro en el que reinarán las demostraciones.
Caracterizado por la objetivación de las distintas propiedades de las figuras
geométricas y se precisa que tiene por finalidad única el dominio del lenguaje
geométrico, por considerar el uso del vocabulario geométrico tan escaso en la
generalidad de los alumnos y cuyo desconocimiento es el principal escollo para
la enseñanza de la Geometría. También se
orienta ejercitar a los alumnos en los llamados problemas de construcción, como
un de los asuntos más interesantes de los cursos de Geometría, y que prepara a
los alumnos para comprender después la relación del Algebra con la Geometría.
El segundo año se inicia con el
estudio de la circunferencia y se dedica el resto del programa al estudio de
los cuerpos. En esta oportunidad se señala hacer algunas demostraciones con la
salvedad de que se hagan objetivas primeramente. También se sugiere hacer
diariamente ejercicios de evocación con
los conocimientos dados en el curso y en el anterior.
En el tercer año se continúa el
estudio de los cuerpos geométricos, específicamente los redondos y termina con
las secciones cónicas. Para el desarrollo de este curso se mantiene la misma
indicación con respecto a la objetivación antes de las demostraciones
geométricas, además se exige hacer muchos ejercicios de generalización y de
evocación. También se aclara que no se deben dar fórmulas si no son aplicadas.
En este mismo decreto se orienta
utilizar el libro “Elementos de Geometría”, de G. M. Bruño.(25) Se pudo
consultar una edición de dicho libro, de 1921, que seguido del título se
plantea: “ Para la Enseñanza Superior y Escuelas Preparatorias”. En la revisión
de este libro se comprobó que desarrolla los contenidos en correspondencia con
los que se proponen en los cursos de
Geometría del plan de estudios establecido en el Decreto de 1929 y tiene al final ejercicios para cada temática, pero
no presenta ejercicios resueltos.
En el archivo provincial de
Cienfuegos se consultó la Tesis de Grado de Pedro Soto del Camino (134) sobre
la organización de las Escuelas Normales para maestros en Cienfuegos en 1958.
En el Capítulo IV referido a la estructura de la enseñanza aparece una planilla
de notas en la que se refleja que en
primer año se daba Dibujo; en segundo, Dibujo lineal y natural y en
tercero; Geometría, Dibujo y Modelado. También
en los horarios del curso 1957-1958, aparece en primer año Geometría y
Dibujo con 3 y 2 frecuencias semanales respectivamente; en segundo, Dibujo con
2 frecuencias semanales y en tercero Geometría y Dibujo, ambas con 2 horas
semanales. Aunque no se encontró durante el proceso de esta investigación otro
Decreto después del de 1929 que reglamentara las asignaturas del plan de
estudios en las Escuelas Normales para Maestros, se considera, según se observa
en la tesis del Doctor Soto, que la
enseñanza de la Geometría se mantuvo en los planes de estudio, así como la de
Dibujo.
Con la aplicación de
cuestionarios a profesores que impartieron clases de
Matemática en la formación y/o
superación de maestros primarios (Anexo 11) se conoció que se utilizaban los
libros siguientes de Geometría:
Geometría. Segundo curso de Miyares – Escalona (107), Geometría de
Fiterre(58) y el de Paz Sordía (113)
El libro del segundo curso de
Matemática de estos autores se dedica a iniciar el estudio de la Geometría, por
lo que tienen un primer capítulo referido a generalidades entre los que se
encuentran los conceptos: axiomas, teorema y demostración. Además se dan
indicaciones heurísticas para la realización de las demostraciones. Aunque en
cada caso se plantea un grupo de axiomas, se considera que no se pone de
manifiesto con claridad el papel de los axiomas en la construcción de la
Geometría. Por ejemplo, en el libro de Miyares – Escalona se plantea como
postulado la proposición: " Por cada punto pasan infinita rectas." ,
la que puede ser demostrada a partir del
postulado de la determinación única de una recta dados dos puntos diferentes.
En cuanto a las construcciones
geométricas, Fiterre las aborda de manera explícita al final de cada capítulo
en correspondencia con la figura trabajada, por su parte Miyares – Escalona
sólo plantea ejercicios sin una explicación previa. Al finalizar cada capítulo
se plantean ejercicios y se dan las respuestas de algunos de ellos.
·
Al inicio, los contenidos geométricos están incluidos en los programas de
Dibujo, pero a partir de la Ley de 1915 se considera la Geometría como una
asignatura independiente al Dibujo y específicamente en el Decreto de 1929 se
establecen los contenidos geométricos a desarrollar en cada curso.
·
En el Decreto de 1929 aparecen orientaciones
en el orden metodológico, en la que se plantea la objetivación de los conceptos
y propiedades como aspecto primordial al desarrollar los contenidos, aunque
aparecen algunas demostraciones.
·
Se precisa por
primera vez, una bibliografía
como libro de texto, aunque además por cuestionarios aplicadas a profesores que
impartieron clases en la formación y/o superación de maestros primarios durante
las décadas del 50 y 60 se conoció del empleo de otros libros de texto.
1.4.3.- Período de la Revolución en el
Poder
Al iniciarse este período el
primero de enero de 1959, la Revolución se tiene que
enfrentar al estado critico de la educación existente en el país: 10 000 maestros con títulos
sin trabajo; 550 000 niños de seis a catorce años, aproximadamente el
50% del total, que no asisten a la escuela y, como consecuencia, un alto
porcentaje de analfabetos. Luego en los primeros años de la Revolución los
esfuerzos están encaminados a eliminar el analfabetismo y a garantizar la
masividad de los servicios educacionales.
Ya en los inicios de la década del 70 la situación era otra.
Específicamente en el acto de clausura del II Congreso de la Unión de Jóvenes
Comunistas, en abril del 1972, el Comandante en Jefe destaca la necesidad de
revolucionar hasta los cimientos los conceptos de educación. Se abre una nueva
fase en el desarrollo educacional cubano dirigida al perfeccionamiento como resultado de la
experiencia acumulada y como necesidad de las exigencias del desarrollo social
y en 1975 se comienza a aplicar el Plan
de Perfeccionamiento del Sistema Educacional cubano.
Luego se pueden
distinguir dos grandes etapas en este período, uno antes y otra a partir del Plan de
Perfeccionamiento.
I.- Antes del perfeccionamiento del sistema educacional
Al triunfar la Revolución, se comienza una preparación de maestros emergentes, creándose en 1960 la brigada de Maestros
voluntarios “ Frank País ” en la montaña y “ Delfín San Cedré ” en el llano. En
1961 se clausuran las Escuelas Normales y se crean las escuelas para Maestros
Primarios (plan masivo Minas de Frío - Topes de Collantes – Tarará), con un
plan de cinco años.
Durante este plan, que culmina en 1968, se imparte Matemática según los
programas de la enseñanza general. Por el cuestionario aplicado a profesores(Anexo
8) que trabajaron en este plan, se conoce que los contenidos geométricos se
imparten en segundo año, y para ello se utiliza como libro de texto los tomos
de Matemática de la colección “Lecciones para todos” (81) que son elaborados
para la enseñanza secundaria básica. En
el tomo II aparecen varias lecciones
relativas a la
Geometría, que a continuación se
relacionan:
Lección 10:
Líneas poligonales y polígonos.
Lección 11: Estudio del triángulo.
Clasificación. Construcciones de triángulos conocidos sus lados.
Lección 12:
Cuadriláteros. Clasificación. Construcciones.
Lección
13: Área del rectángulo, el
cuadrado. El paralelogramo general, el rombo, el triángulo, el trapecio.
En 1968 se crean las Escuelas Formadoras de Maestros
Primarios, una en cada provincia, con un sexto grado como nivel de ingreso. En
este plan se imparte Matemática en los primeros cuatro años y después en los
primeros tres, de los cinco de la carrera. Desde 1968
hasta el curso 1972 - 1973 se utilizan los
programas, libros textos y orientaciones
metodológicas de Matemática de la
enseñanza secundaria. Alberto Valle en su tesis doctoral (143), referida a la preparación
matemática de los estudiantes en la formación de maestros primarios, hace
referencia a algunas de las deficiencias de la concepción de estos programas:
-
La enseñanza de la Geometría
estaba desprovista de un desarrollo paulatino de las capacidades de demostrar y
definir.
-
No existía una metodología de
carácter científico para la enseñanza de la asignatura.
En el curso
siguiente, 73-74, se comienza a aplicar un nuevo programa de
Matemática (46) (47) (48) (49) para
esta carrera. Los objetivos y el contenido de este programa responden, por
primera vez, al perfil del maestro primario que se formaba con un ingreso de
sexto grado.
En el programa se plantean los objetivos generales por semestre y los específicos por unidad, los correspondientes a la Geometría
son:
PRIMER
AÑO. SEGUNDO SEMESTRE
-
Que identifiquen, diferencien y
designen correctamente figuras geométricas, así
como que se familiaricen con las relaciones entre ellas.
-
Que utilicen correctamente los
instrumentos de trabajo en Geometría (regla, cartabones, compás y semicírculo).
-
Introducir experimentalmente
(intuitiva) los primeros conceptos sobre los movimientos en el plano, así como
sus propiedades.
SEGUNDO
AÑO. PRIMER SEMESTRE
-
Continuar desarrollando habilidades
en el trazado y construcciones en Geometría, con limpieza y precisión.
-
Introducir como generalización de
las propiedades comunes a las traslaciones, reflexiones y simetrías axiales, el
concepto de Movimiento.
-
Que apliquen correctamente la
congruencia de triángulos en la resolución de ejercicios.
-
Introducir algunas figuras
geométricas planas: triángulo, rombo, cuadrado, paralelogramo, polígono, etc.,
así como, algunas de sus propiedades fundamentales.
En total, en los tres primeros años de la carrera se dedican 190
horas a la enseñanza de la Geometría, lo que representa un 41,6 % de las 456
horas de la asignatura Matemática en estos años. (Anexo 12)
Para este nuevo programa se editan tres tomos de Matemática de los autores Yamil Alonso, Rolando Forneiro
y Ernesto Fernández, los que son destinados como libros de textos durante los dos primeros años de la
carrera. En el tomo 2 (11) aparece el Capítulo 4: Conceptos geométricos
fundamentales, en el que se abordan puntos, rectas, traslaciones, rotaciones y
simetría axial; y también tiene un Capítulo 5: Medición y unidades. En él se tratan las unidades de magnitud y el
cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. Estos capítulos tienen la finalidad
de recordar aspectos elementales de la Geometría y se desarrollan sin hacer referencia a axiomas,
ni a teoremas y definiciones.
En el tomo 3 (12) se encuentra el Capítulo 8: Geometría Plana, en
este se hace un repaso del Capítulo 4 y se abordan las siguientes temáticas:
movimiento y congruencia, triángulos, congruencia de triángulos, cuadriláteros y polígonos, perímetro
y área de polígonos.
Con este nuevo programa y los
textos elaborados específicamente para la formación de maestros primarios se
inicia el estudio de forma sistemática de los conceptos geométricos que se
trataban en la escuela primaria.
En el tercer año de la carrera se imparte la Matemática por los
libros de la enseñanza general. Teniendo en cuenta el grado de escolaridad de
ingreso de los alumnos se considera que el nivel científico de la
estructuración del contenido geométrico, según este programa, es adecuado, pero no se le da tratamiento metodológico a situaciones
típicas de la Geometría de manera explícita en función de su futura labor
profesional.
II.- A partir del perfeccionamiento del sistema educacional
En esta etapa se pueden distinguir cuatro subetapas. La primera
de ellas comienza en el curso 1977-1978, como consecuencia del Plan de
Perfeccionamiento de Sistema Educacional, con la formación de maestros
primarios con ingreso de noveno grado, nombrándose las antiguas Escuelas
Formadoras de Maestros, Escuelas Pedagógicas.
Los programas de Matemática en este nuevo plan tienen dos objetivos
fundamentales: uno, garantizar la formación preuniversitaria y el otro, la
formación profesional de los estudiantes. El plan de estudio inicial de la
asignatura Matemática establece programas únicos para todos los estudiantes de
los dos primeros años independientemente de la especialidad que cursaran y a
partir de tercero son diferentes. En el programa de Matemática para este plan
(50) se conciben los contenidos geométricos a partir de tercer año. (Anexo 13)
En este plan de estudios se contaba con 458 y 600 horas para la
asignatura Matemática en el curso básico y en el de la especialidad
respectivamente (incluyendo las 270 horas de los dos primeros años en ambos
casos). Las horas dedicadas a las
temáticas de geometría representan el 26,6% en el caso del curso básico
y un 28,6% en el de la especialidad.
Como se puede observar en este plan además de impartir elementos de la
Geometría Plana se imparten nociones de Cálculo Vectorial y Geometría
Analítica, así como de secciones cónicas.
En relación con el último programa del plan de ingreso con sexto grado
existe una disminución del por ciento que representan las horas dedicadas al
tratamiento de la Geometría con respecto al total de horas de la asignatura Matemática.
Más significativa es esta disminución si se tiene en cuenta que las horas de
Geometría que reciben los graduados encaminadas al cumplimiento del objetivo
relativo a la formación profesional representan un 13,7%, en el caso del curso
básico, y un 16,6%, en el caso de la especialidad.
Por otro lado, la estructura científica de la Geometría Plana en este
plan cambia radicalmente con respecto a los planes anteriores, esta se concibe
siguiendo una construcción axiomática y se considera el concepto movimiento
como primario.
Para la puesta en práctica de este programa de Matemática se elaboraron
las orientaciones metodológicas (147)
(148). Estas están estructuradas en los siguientes tópicos: sobre el contenido
de las unidades, sobre los puntos esenciales de las unidades en relación con la
enseñanza de la Matemática en la primaria e indicaciones metodológicas sobre
problemas especiales de las unidades.
En el caso específico del tratamiento de la Geometría, estas
orientaciones plantean por una parte que:
“El objetivo fundamental de estas unidades, es que los
estudiantes reconozcan la construcción de una determinada teoría matemática que
refleja la realidad objetiva y surge de ella.” (148, 59)
Y por otra:
“Es de señalar que aquí se presenta una operación exacta
de inferencia lógica en la Geometría, ya que no se basa en la intuición, ni en
la ilustración.” (148, 60)
Pero en las indicaciones no se dan orientaciones de cómo
lograr, con una construcción axiomática rigurosa, que los alumnos reconozcan
que esta teoría surge de la realidad objetiva. En el tópico relacionado con la
enseñanza de la Geometría en la escuela primaria, se plantea la presencia
implícita de los axiomas en los programas de la escuela primaria, pero tampoco
explican cómo establecer esta vinculación al desarrollar las unidades
temáticas.
Relacionado con el tratamiento de la Geometría en este plan,
se comparte con las siguientes dificultades planteadas por Alberto Valle en su
tesis doctoral (143), referida a la preparación matemática de los estudiantes
en la formación de maestros primarios:
-
El tiempo que se dedica al
tratamiento de la Geometría Plana no es suficiente, más aún teniendo en cuenta
las deficiencias que presentan los alumnos que ingresan en la carrera.
-
La Geometría se estudia haciendo énfasis
en lo teórico y se descuida el desarrollo de las habilidades y capacidades de
construir figuras planas.
-
Las orientaciones metodológicas
para el tratamiento de la Geometría no son precisas.
En relación con la construcción axiomática de la Geometría
Plana, Valle considera que los futuros maestros deben conocer una forma
de estructurar axiomáticamente la Geometría Plana, aunque recomienda que el
tratamiento de la Geometría no se haga de forma axiomática y que de
considerarse un sistema de axiomas, este debe ser tan simple como el propuesto
por Celia Rizo en su tesis doctoral. (Anexo 5)
En cuanto a la bibliografía se orienta utilizar como libro de
texto “Conceptos básicos de la Geometría Plana”, tomos 1 y 2 de Horst Müller.
(108) (109) En el prólogo del tomo 1 se plantea:
“... está escrito especialmente para aquellas
personas que se dedican a la enseñanza de la Matemática (... ) en él se ha
desarrollado una construcción axiomática de la Geometría Plana... el estudio de la
Geometría en esta forma singularmente exacta exige algún esfuerzo, puesto que
no es admisible la utilización de la intuición como medio de la comprobación
(...) el propósito de escribir este curso de geometría fue el de que este
pudiera utilizarse también para el autoestudio (...) donde la ayuda del
profesor fuera la mínima... sin embargo, este material no es el apropiado para
comenzar el estudio de la matemática, ya que se necesitan ciertas capacidades
para la abstracción y para la comprensión y realización de demostraciones...”
El curso de Geometría Plana Euclidiana que aparece en estos libros de
Müller se confecciona tomando en consideración el libro Geometría del profesor
doctor Berno Klotzek de Postdam, RDA.
Estos libros, aunque se utilizan como textos, no son elaborados para el
programa, sino a la inversa, el programa en correspondencia con los libros. El
autor de estos textos no tiene presente las características concretas de
nuestro sistema educacional, específicamente las de la enseñanza de la
Geometría en la escuela primaria cubana. Por otra parte, estos textos se
utilizaban también en la Licenciatura en Educación, Especialidad Matemática;
por lo que resulta contradictorio que se
empleara en la Licenciatura en Educación Primaria, puesto que, si cierto es que
en ambos casos se forman Licenciados en Educación; también es evidente que el
nivel de profundidad con que deben dominar los contenidos correspondientes no
es el mismo.
En la referida tesis doctoral de Alberto Valle, la
que tiene como objetivo fundamental perfeccionar la enseñanza de la asignatura
Matemática en la formación de maestros primarios, con la propuesta de una nueva
estructuración de esta asignatura, se destaca que en el complejo de materia
“Geometría” un aspecto esencial es el desarrollo de la representación espacial
y plantea que los objetivos de la enseñanza de la Geometría en esta carrera
deben ser que los alumnos:
-
dominen
los conceptos esenciales de la Geometría Plana según el tratamiento que se
sigue en la escuela primaria y sepan realizar demostraciones sencillas de
proposiciones de la geometría escolar.
-
dominen
los teoremas fundamentales de la geometría escolar.
-
desarrollen
habilidades en el manejo de los instrumentos de dibujo, tanto en el papel como
en la pizarra.
-
dominen
los cuerpos geométricos que se estudian en la primaria, así como sepan calcular
áreas y volúmenes de estos cuerpos.
-
conozcan
una forma de estructurar axiomáticamente la geometría plana.
Alberto Valle propone que el contenido de este complejo de materia
debiera ser:
-
Conceptos preliminares.
-
Poligonal y polígonos.
-
Movimientos en el plano.
-
Relaciones entre ángulos
-
Teoremas referidos a ángulos y lados de un triángulo.
-
Definición de cuerpos sencillos.
-
Cálculo de áreas.
-
Cálculo de volúmenes.
-
Circunferencia.
-
Semejanza.
-
Homotecia.
-
Posible estructuración axiomática
de la Geometría.
La segunda subetapa
consistió en modificar el programa anterior con un carácter autóctono en
el proceder. Las modificaciones que sufrió el programa de Matemática fue consecuencia de la tesis de Alberto Valle citada con
anterioridad y entraron en vigor a partir del curso 1987-1988. Según este
programa se dedican 80 horas al tratamiento de la Geometría, lo que representa
un 19,5% del total de horas dedicadas a la formación matemática y los contenidos
geométricos quedaron distribuidos en las siguientes unidades temáticas:
- Conceptos preliminares.
-
Poligonal y polígonos.
-
Movimientos en el plano.
-
Algunos teoremas de la Matemática Escolar.
-
Cálculo de cuerpos.
-
Semejanza y Homotecia
Estas unidades se imparten en el tercer año de la carrera y el programa
(35) correspondiente precisa que la concepción científico – metodológica del
contenido geométrico se basa en los aspectos siguientes:
-
Después de tratarse los conceptos
básicos, se pasa a definir el concepto de segmento y a partir de él se elabora
de forma sistemática toda la estructura conceptual, propiedades y relaciones de
la Geometría Plana y se introducen algunos conocimientos del espacio
tridimensional.
-
Los conceptos de congruencia de
segmentos y de ángulos se tratan como condición previa para el concepto de
movimiento.
-
Las construcciones geométricas se
incluyen en cada uno de los contenidos a tratar, en la medida de las
posibilidades y posteriormente cuando se hayan abordado los medios matemáticos
suficientes se procede a realizar la justificación.
En las orientaciones metodológicas de este
programa se insiste en que es importante tanto para la formación de la
concepción científica y profesional que los alumnos reconozcan que los
conceptos geométricos, sus propiedades y
las relaciones entre ellos son abstracciones que se obtienen como
resultado de las relaciones del hombre con el medio. Por lo que se plantea que
la base de sustentación de la elaboración de los conceptos tiene que ser un
trabajo intuitivo mediante la observación, manipulación, trazado y la
representación de los objetos correspondientes a los conceptos que se elaboren.
Esta concepción metodológica coincide con la objetivación que se plantea en el
Decreto de 1927 para las Escuelas Normales; y a su vez está en correspondencia
con la del carácter de la enseñanza de la Geometría en la escuela primaria.
Además en dicho programa se dan orientaciones
para el tratamiento de las situaciones típicas de la Matemática, pero estas
están dirigidas a los profesores y no se hace referencia a que se hagan
explícitas para los alumnos.
Alberto Valle conjuntamente con Osvaldo
Simeón Lafargue asesoró a un grupo de profesores de distintas Escuelas
Pedagógicas en la elaboración de un material, con el título “Geometría
Elemental. Escuelas Pedagógicas”. (63) Este material se elabora teniendo en
cuenta la tesis doctoral de Valle, por tanto tiene en cuenta las condiciones
reales de ingreso de los estudiantes y los criterios dados por los profesores
en las distintas encuestas aplicadas. El material estaba concebido en dos
partes, una teórica y otra de ejercicios; esta última demoró un poco en llegar
a los profesores debido a las dificultades de impresión.
El referido material se considera un paso de
avance en cuanto a que es el primer libro de texto de Geometría elaborado en la
etapa de perfeccionamiento en función del programa y que tiene en cuenta en
cierta medida el perfil del profesional que se forma. Aunque existe cierto
acercamiento al perfil de un maestro primario, se considera que el tratamiento
de las situaciones típicas de la enseñanza de la Geometría no es lo
suficientemente explícito. Por otra parte, en esta literatura no se desarrolla
la posible estructuración axiomática de la Geometría Plana, contenido
considerado por el propio Valle, en su tesis,
que debiera formar parte de este complejo de materia.
La edición de este material tuvo
carácter provisional hasta que se
publicara el texto con igual nombre y contenido, lo que no llegó a
materializarse porque a su vez se iniciaba la Licenciatura en Educación
Primaria.
En 1988 con el inicio de la Licenciatura en Educación Primaria, lo que exige un ingreso de
duodécimo grado, se comienza la tercera subetapa de este período. En
esta subetapa el programa de Matemática adopta las características del programa
aplicado en la primera subetapa. Esta decisión estuvo determinada teniendo en
cuenta el nivel de ingreso.
La Geometría Plana que se imparte según este programa es similar al plan
inicial del ingreso con noveno grado, empleándose los mismos libros de textos;
es decir, se imparte la Geometría axiomática del autor Horst Müller. (108)
(109) Los temas geométricos están ubicados al final de la Disciplina
Matemática, en los semestres tres y
cuatro de la carrera.
III.- En el Plan C de la Licenciatura en Educación Primaria
En el curso 1991-1992 se inicia la cuarta subetapa de la enseñanza de
la Geometría en la formación de maestros primarios en el plan de
perfeccionamiento con el naciente Plan de Estudios C, el que aún se encuentra
vigente y es por ello que se aborda en un subepígrafe aparte.
Con el Plan C se inicia la concepción de la formación matemática de los
Licenciados en Educación Primaria como una Disciplina, por lo que aparece por
primera vez un programa de la Disciplina Matemática (119). Este programa se
concibe con carácter general, en él se precisa: fundamentación de la
Disciplina, objetivos generales educativos e instructivos de la Disciplina y
los instructivos de cada asignatura, sistema de conocimientos de cada tema,
sistema de habilidades de cada asignatura y indicaciones metodológicas y de
organización de la Disciplina.
En estas indicaciones metodológicas se plantean orientaciones generales
para el desarrollo del programa. Se hace una posible distribución de horas por
temas y se dan orientaciones para cada
asignatura, pero esta últimas son muy generales ya que los profesores de
cada Facultad quedan responsabilizados con la elaboración de los programas de
las asignaturas.
Los temas relativos a la Geometría están ubicados en las dos últimas
asignaturas de la Disciplina Matemática, específicamente en Matemática III y
Matemática IV y los objetivos de estas asignaturas relacionados con el
tratamiento de la Geometría son:
Matemática III
§
Resolver con seguridad y orden
ejercicios de cálculo de amplitudes de ángulos y de demostración de congruencia
de ángulos y paralelismo de rectas aplicando los conceptos de los pares de
ángulos y los teoremas correspondientes.
Matemática IV
§
Resolver con seguridad y orden
ejercicios de cálculo de amplitudes de ángulos y de demostración paralelismo de rectas, de congruencia de
ángulo, segmentos y triángulos aplicando conceptos y teoremas sobre ángulos,
triángulos y cuadriláteros.
§
Resolver con seguridad, orden,
limpieza y suficiente precisión ejercicios de construcción de triángulos y de
imágenes de puntos y figuras aplicando las construcciones geométricas
fundamentales con regla- compás y regla- cartabón, los movimientos del plano y
sus propiedades, axiomas y teoremas de la Geometría Plana.
§
Resolver con seguridad, orden y la
exactitud necesaria ejercicios y problemas de áreas y perímetros de polígonos,
longitud de la circunferencia, área del círculo y volúmenes de algunos
poliedros y cuerpos en revolución aplicando los conceptos y teoremas
correspondientes y el trabajo con magnitudes.
Los contenidos geométricos que se orientan son los que tradicionalmente
se han abordado sobre Geometría Plana y cuerpos en la formación de maestros
primarios y las horas clases para estos contenidos representan un 42,3 % de las
horas dedicadas a la Disciplina y están distribuidos en tres temas. (Anexo 14)
En este plan el programa de la Disciplina Matemática plantea que no se
haga una construcción axiomática de la Geometría, sin embargo orienta como
literatura básica los libros de Horst Müller que sigue una axiomática rigurosa
y además orienta el empleo de libros de Matemática de la enseñanza general.
Evidentemente, la bibliografía que se orienta no está elaborada teniendo en
cuenta el perfil ocupacional del profesional que se forma: Licenciado en
Educación Primaria.
En resumen, en el período de la Revolución en el Poder,
específicamente antes del Plan de Perfeccionamiento se tiene que:
·
La preparación geométrica de los futuros
maestros primarios se sigue contemplando en los planes de estudio. Durante la
década de 1960 – 1970 se imparten los contenidos que aparecen orientados en los
programas de secundaria básica, por lo que la formación matemática del maestro
primario no se ajusta a su perfil ocupacional. Específicamente a partir de 1972
se comienza a realizar ajustes de los objetivos y contenidos geométricos al
perfil del maestro primario.
·
Las orientaciones metodológicas son
las correspondientes a las dadas para secundaria básica.
·
Durante la primera década se emplean los
libros de la enseñanza general y en 1973-1974 se comienzan a utilizar los primeros libros
textos elaborado para la carrera, aunque las últimas unidades temáticas de
Geometría se tienen que impartir por los libros de la enseñanza general.
A partir del Plan de Perfeccionamiento se pueden distinguir cuatro
subetapas con respecto al nivel de escolaridad para el ingreso de la carrera:
dos con noveno grado y las otras dos, con duodécimo. En este etapa se tiene
que:
·
Se sigue concibiendo la preparación
geométrica de los futuros maestros primarios, aunque en el plan de ingreso de
noveno grado existe una disminución del por ciento de horas dedicadas a esta
preparación con respecto al plan de sexto grado
·
Se han considerado las tendencias
opuestas: construcción axiomática y
construcción no axiomática.
·
En los programas no se dan
orientaciones metodológicas precisas para desarrollar los temas.
·
La bibliografía empleada no ha sido
elaborada específicamente para la enseñanza de la Geometría en la formación de
maestros primarios, aunque como consecuencia de modificaciones realizadas al
plan de noveno grado se confeccionó un material con este fin, pero en él no se
abordan de manera explícita aspectos metodológicos relacionados con el perfil
del maestro primario. En el caso del plan con ingreso de duodécimo grado se
emplean los textos de Müller
que desarrollan una axiomática rigurosa.
1.4.7. Tendencias de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios en Cuba
El análisis histórico – lógico realizado permite plantear tendencias de la enseñanza de la Geometría en la formación de
los maestros primarios:
1.
La enseñanza de contenidos
geométricos se ha contemplado en la formación de maestros primarios, desde 1857,
según consta en los documentos estatales que norman la instrucción y educación
del pueblo de Cuba y los contenidos elementales de Geometría Plana y del
Espacio abordados en la escuela primaria han estado incluidos en los distintos
programas de la formación de maestros.
2.
Ha existido una controversia entre
la consideración o no de una construcción axiomática de la Geometría.
3.
Los futuros maestros deben
reconocer el origen de los conceptos geométricos en la realidad objetiva..
4.
No se han precisado
principios metodológicos para el tratamiento de los contenidos geométricos.
5.
En general, la literatura
docente que se ha empleado no ha sido elaborada con fines didácticos para el
profesional que se forma, en múltiples ocasiones se han utilizado los libros de
textos de la enseñanza general, los que como es lógico no están en
correspondencia con el perfil del graduado; y en otras, se han empleado libros
apropiados más bien para especialistas de Geometría y no para Licenciados en
Educación Primaria.
1.4.8. Cronología de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios
El análisis histórico – lógico que
se expone en este capítulo ha permitido confeccionar la siguiente cronología de
la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios.
1991 
1988
1987
1977
1972
1968
 |
|
1961
1959
1929
e
1927
1915
1902
1899
1892
1872
1868
1863
1857
1.5. Conclusiones
- La enseñanza de elementos geométricos en la escuela primaria en Cuba estuvo
incluida, principalmente durante la primera mitad del siglo XIX en los
programas de Dibujo y sólo en la primera década del siglo la asignatura
Geometría se impartió en todos los grados de la primaria. Actualmente la
enseñanza de la Geometría se mantiene en todos los grados de la escuela
primaria y tiene una fundamentación matemática basada en un sistema de axiomas.
La enseñanza de la Geometría en el primer ciclo tiene un carácter intuitivo-
operativo y en el segundo, va adquiriendo un carácter deductivo. Este carácter
coincide con la tendencia actual de la enseñanza de la Geometría en edades
tempranas, en otros países.
- En relación con la enseñanza de la Geometría en la formación de
maestros primarios en Cuba, se constató que esta siempre ha sido contemplada en
los diferentes planes de estudio. Pero ha existido una controversia en la
concepción de su estructuración científico-metodológico y no se plantean
postulados generales que deben caracterizar su tratamiento. Además, en general,
no se ha contado con un libro que esté en correspondencia con el perfil de este
profesional.
CAPÍTULO
III FUNDAMENTACIÓN DE LA PROPUESTA DE UN LIBRO DE GEOMETRÍA PLANA PARA LA
FORMACIÓN DE UN LICENCIADO EN EDUCACIÓN PRIMARIA
Este capítulo tiene como objetivo
principal exponer la estructuración y fundamentación de la propuesta de un
libro de Geometría Plana para la formación de un licenciado en Educación Primaria. El capítulo consta de un epígrafe
introductorio en el que se abordan aspectos teóricos sobre los medios de
enseñanza y en particular acerca de la literatura docente; un segundo epígrafe
en el que se precisa la necesidad de una literatura docente para la enseñanza
de la Geometría en la formación de un Licenciado en Educación Primaria; en un
tercero se plantean los pasos metodológicos que se siguieron para su
elaboración; en el cuarto se exponen los criterios que se tuvieron en cuenta
en el orden científico-metodológico, así
como la concepción de los diferentes componentes estructurales del libro y un
quinto epígrafe donde se analizan algunas valoraciones dadas por profesores y
alumnos.
3.1.-Consideraciones
teóricas acerca de la literatura docente
La importancia del empleo de los medios de enseñanza en el
desarrollo del proceso docente- educativo fue reconocida en el epígrafe 2.2 al
fundamentar el principio metodológico de la vinculación del contenido
geométrico con la elaboración de medios de enseñanza.
Entre los medios de enseñanza se encuentran materiales impresos que
trasmiten la información mediante impresiones planas, generalmente elaboradas
por medio de máquinas; pero que no sólo están dirigidas a la trasmisión de
conocimientos, sino que están también encaminadas a la formación de habilidades
y capacidades en la solución de ejercicios y tareas, a la orientación del
estudio independiente y al desarrollo del pensamiento: la literatura docente,
es uno de estos materiales impresos.
Desde el siglo XVII, pedagogos
cubanos como José de la Luz y Caballero reconocen la importancia del enfoque
metodológico de la literatura docente. Justo Chávez en su libro “Del Ideario
Pedagógico de José de la Luz y Caballero” (30), destaca que este ilustre
maestro consideraba que la presentación de los contenidos en los textos debiera
tener un significativo valor didáctico, específicamente planteaba que los
textos que se emplearan fueran los mejores o al menos los menos malos y sobre
todo que los adoptados debieran poseer un sentido didáctico favorable al
aprendizaje, siendo reflexivo y práctico.
Al respecto Mercedes Cordero
Bretón plantea:
"
La Literatura Docente es la literatura elaborada
especialmente con fines didácticos, teniendo en cuenta los planes de estudio y
los programas que lo avalan. La elaboración de esta literatura se fundamenta en
los principios teóricos y los principios didácticos. De ahí que se nombre
Literatura Docente o Literatura Didáctica."( 33, 3)
Milan Gnot, de
Checoslovaquia, en su artículo “Algunas cuestiones sobre la confección de
literatura docente para los CES” (65), destaca que la literatura docente son
medios didácticos que con el nivel adecuado y de modo dialéctico, sistemático e
integral dan a conocer a los estudiantes la riqueza de la ciencia ajustándose
este conocimiento a los objetivos y tareas de la disciplina en cuestión.
En general, la literatura
docente es considerada (33) (65) (67) (78) (87) (103) como aquella literatura
elaborada con fines didácticos y que responde a los objetivos y tareas de la
disciplina en cuestión. Como literatura docente se consideran los libros de
texto básicos, los auxiliares, los complementarios y los de consulta.
Czeslaw Maziarz, del Instituto para la Política Científica de
Polonia, en su artículo “Aspectos de la optimización de la estructura interna
del libro de texto universitario” (103), resalta que el libro de texto deberá cumplir a
similitud de otros elementos del sistema educacional, diversas y complejas
funciones didácticas.
Ivan Marev y Peter Petrov en el artículo “Problemas actuales de la
teoría del libro de texto universitario”
(87) hacen referencia a que existen pedagogos de Estados Unidos que
consideran que el libro de texto es anticuado e inservible, que debe ser
sustituido por otros medios que tengan un desarrollo más rápido, planteando que
el lugar del libro de texto es el museo de la Historia de la Pedagogía. Aunque
existen otros pedagogos norteamericanos que han realizado investigaciones sobre
el uso de los medios de enseñanza, en las que han concluido que el libro de
texto sigue ocupando un lugar central entre los medios y es la forma docente
más efectiva, económica e importante con que cuentan la mayoría de las
disciplinas. En el artículo mencionado se destacan como defensores del uso del
libro de texto, al norteamericano Coombe, al suizo Dotrens y al Italiano
Valpicoelli; aunque estos pedagogos no niegan la necesidad de perfeccionarlo.
Por su parte, Jurjo Torres Santomé, en su artículo “Libros de
texto y control del curriculum” (141),
hace una crítica a la existencia de los libros de textos, porque su existencia supone una amenaza contra la
libertad de conciencia y de cátedra y que tiende a la descualificación del
maestro.
Para dar respuesta a Torres Santomé se cita el siguiente
planteamiento de Vicente González Castro:
“El libro de texto y el conjunto de
materiales impresos son buenos ejemplos de esos recursos que están por lo
general al alcance de todos nuestros maestros y profesores y sin embargo no
sacamos de ellos aún, su mejor provecho, por lo que se hace necesario
profundizar en su empleo, conocer sus ventajas y limitaciones y hacer un uso
cada vez más efectivo de ellos.” (
67,120 )
En el mismo Cuaderno Pedagógico en el que se publicó el artículo
de Torres Santomé, aparece uno de Manuel Fernández titulado “El libro de texto
en el desarrollo del curriculum”, en que se aboga por el libro de texto y
plantea algunos requisitos a tener en cuenta en la elaboración de libros de
textos, destacando las dos siguientes condiciones básicas:
-
Ayudar al profesor,
proporcionándole modelos, a organizar sus explicaciones, a plantear actividades
significativas y a adecuar contenidos y actividades a las particularidades de
los alumnos.
-
Ser susceptibles de
utilización autónoma por parte del alumno.
Se comparte el criterio en relación con la necesidad de introducir
cambios sustanciales en la literatura docente tradicional y que el libro de
texto sigue ocupando un lugar central entre los medios de enseñanza, aunque se
critica su uso indiscriminado.
El valor pedagógico de una literatura docente no está dado sólo
por la concepción de su estructuración, sino también por la maestría pedagógica
con que es empleado por los profesores.
Un buen pedagogo puede convertir un “ mal libro de texto” en un “ buen libro”
Partiendo del concepto de
literatura docente, se tiene que esta no puede ser simplemente una compilación
escrita de conocimientos de una disciplina determinada, tiene que
necesariamente reflejar una metodología dirigida a contribuir a dar
cumplimiento a los objetivos de esa disciplina.
En la tesis se asume la posición que considera la tecnología
educativa con un enfoque integral y se defiende la existencia de la literatura
didáctica o docente. Por tanto, en consecuencia con la posición adoptada se
precisa que esta tiene que concebirse en relación sistémica con los restantes
componentes del proceso de enseñanza-aprendizaje y para ello debe cumplir
funciones que permita integrarse armónicamente a dicho proceso.
3.1.1.- Funciones de la literatura docente
Los diferentes autores consultados
(33) (65) (87) (103) hacen referencia a las funciones que debe cumplir un libro
de texto. De modo general hay coincidencia en la esencia de las funciones,
aunque la terminología en ocasiones difiere.
Mercedes Cordero (33) destaca que
el libro de texto debe cumplir tres funciones didácticas fundamentales, entre
otras, estas son: la informativa, la de control y la educativa. Por otra parte
resalta que el libro de texto debe ser capaz de activar no sólo la memoria de
los estudiantes, sino también el pensamiento lógico y la imaginación creadora;
así como debe contribuir al estudio sistemático, es decir, al estudio
independiente sin ayuda del profesor, considerando esto último como la función
más importante.
Por otro lado, los autores Gnot y Maziarz (65) (103) coinciden en
que una literatura docente debe cumplir las funciones informativa o
comunicativa y ejercitación o adiestramiento, aunque cada uno plantea otras
funciones. Maziarz plantea las funciones de dirección y la investigativa; y por
su parte Gnot hace referencia a la motivacional y a la rectora. Estas dos funciones planteadas
por Gnot están incluidas en la de dirección asumida por Maziarz.
La denominación de las funciones de una literatura docente está en
dependencia de la amplitud que se tenga del concepto, bajo dicha denominación.
Lo cierto es, que la literatura docente, como elemento de la categoría
didáctica medio de enseñanza, debe cumplir funciones que tributen al
cumplimiento de los objetivos de la disciplina en cuestión. En el desarrollo de
la tesis se asume que estas funciones deben ser:
·
Función instructiva.
·
Función desarrolladora.
·
Función educativa.
Dentro la función instructiva
se incluyen las funciones planteadas por los autores anteriores relativas a la
trasmisión de información y a la ejercitación. Esta se refiere a los campos del
saber y del poder específicos de la asignatura o disciplina de que se
trate. Los aspectos relativos al saber y
al poder se contemplan en una sola función dada la estrecha relación que existe
entre la adquisición de conocimientos y el desarrollo de habilidades y hábitos,
por lo que se considera que debe existir una fusión entre ellos. Esta función
constituye la base para el cumplimiento de las restantes funciones.
La función desarrolladora
es la relativa al desarrollo de capacidades mentales, es decir, al desarrollo
intelectual. Esta función va encaminada al desarrollo del pensamiento y no se
puede ver independiente de la instructiva, puesto que por medio de esta última
también se contribuye al desarrollo de capacidades mentales. Además, en esta
función se incluyen actividades de carácter investigativo, las que son muy
apropiadas para incentivar la acción de pensar.
La
tercera función, la educativa, es la que
considera la contribución que hace la literatura docente a la educación del
hombre del futuro, a la formación de puntos de vista y concepciones científicas
en los estudiantes. En esta función se deben tener en cuenta dos vertientes de
la educación del individuo: la educación filosófica –ideológica y la educación
político-moral.
Entre estas tres funciones existe
una relación dialéctica, sólo se han planteado de manera aislada para su
precisión; pero en la práctica es muy difícil separarlas. Esta relación
dialéctica está basada en el principio psicopedagógico de la unidad de lo
instructivo, lo educativo y lo desarrollador, planteado por las profesoras del
Instituto Superior Pedagógico Enrique José Varona de La Habana. (8)
Con respecto a la función
motivacional planteada por Gnot, se opina no considerarla de manera asilada
dada la incidencia que tiene la esfera emocional en el desarrollo de cualquier
actividad, por lo que el factor motivacional debe estar implícito en las
funciones anteriores. Esta concepción se basa en el principio psicopedagógico de la vinculación de lo
cognitivo y motivacional planteado por
las citadas profesoras del Varona.
3.2. Criterios de profesores y alumnos sobre la necesidad
y requerimientos de un libro de Geometría Plana para la formación de un
Licenciado en Educación Primaria
Se aplicó un
cuestionario (Anexo 24) con el objetivo
fundamental de conocer criterios de profesores de Matemática con experiencia en
la formación de maestros primarios acerca de la necesidad y requerimientos de
un libro de Geometría para la formación de un Licenciado en Educación Primaria.
Este cuestionario se aplicó en cinco Institutos Superiores Pedagógicos y a un
total 18 profesores: 15 de ellos de las Facultades de Educación Primaria; dos
de las Facultades de Educación; y a un
doctor, especialista en Geometría y profesor de la Universidad de La Habana.
La media de los años de experiencia en Educación Superior es 14 y
en Institutos Superiores Pedagógicos es seis; y la moda es 12 y ocho,
respectivamente.
A continuación se expresan en forman resumida los criterios
recogidos con la aplicación de dicha encuesta:
- El 100% considera los siguientes conocimientos geométricos
imprescindibles en la formación de un Licenciado en Educación Primaria:
§
Segmento, semirrecta,
semiplano y ángulo.
§
Triángulo: elementos,
clasificación, propiedades, congruencia y construcción
§
Cuadriláteros: elementos,
clasificación y propiedades.
§
Polígonos: elementos,
clasificación y propiedades.
§
Construcciones geométricas
fundamentales.
§
Movimientos del plano:
reflexión, traslación y simetría central.
-
El 50 % o más considera que los siguientes
conocimientos no se deben abordar:
§
Bandera
§
Semejanza de triángulos
§
Relaciones métricas en el
triángulo.
§
Nociones trigonométricas.
-
El 58,8% considera que
construcciones de cuadriláteros se deben abordar.
-
El 100% considera que el curso de
Geometría para la formación de un Licenciado en Educación Primaria debe seguir
una construcción axiomática, y específicamente simplificada.
-
El 58,8% considera que se debe
construir una Geometría en la que el concepto de congruencia sea primario con
respecto al de movimiento.
-
El 100% de los profesores con
experiencia en la formación de maestros primarios plantea que no existe un
libro de texto adecuado para desarrollar el curso de Geometría en la
Licenciatura en Educación Primaria.
-
Los requerimientos planteados son
los siguientes:
§
Lenguaje claro, asequible y muy
didáctico, con muchas ilustraciones, ejemplos e ideas intuitivas.
§
Ejercicios resueltos y propuestos
con sus respectivas respuestas.
§
Contribución a la formación
integral, desarrollo del pensamiento y al estudio independiente.
§
Precisión en las definiciones,
teoremas y demostraciones.
§
Con una axiomática que fundamente
la geometría escolar.
§
Informaciones históricas de la
Geometría.
§
Motivación para la profesión.
También se aplicó un cuestionario
(Anexo 25) a 20 alumnos de la
Licenciatura en Educación Primaria en el curso 1996-1997 antes de elaborar el
libro. El 80% o más seleccionaron los siguientes libros como los de mayor uso:
Conceptos básicos II de Horst Müller, Geometría Elemental de las Escuelas
Pedagógicas, Geometría de Miyares-Escalona y Matemática 7. El 40% de los
alumnos seleccionaron el libro de Geometría de
las Escuelas Pedagógicas como el
más provechoso, el 25% el de Miyares-Escalona y el 35% el texto de Matemática Séptimo Grado. Entre los
argumentos se encuentran: para el libro de las Escuelas Pedagógicas está la
sencillez de su lenguaje y que contiene
casi todo el contenido; para el de Miyares-Escalona se destacan los ejercicios
que propone y para el de séptimo grado se mencionan los ejemplos(ejercicios
resueltos) que presenta. El 90% considera que puede ser muy útil la existencia
de un libro de Geometría, específicamente para la Licenciatura; pues
contribuirá a mejorar la preparación de los alumnos ya que se relacionan
más con lo que necesitan para trabajar
en la escuela primaria. En relación con los requisitos que debe reunir el libro plantean: muchas
ilustraciones, ejemplos y ejercicios resueltos, explicaciones sencillas y
claras, y actividades relacionadas con la escuela primaria.
En resumen, los resultados de la
aplicación de los cuestionarios
corroboran la necesidad de un libro de
Geometría para la formación de Licenciados en Educación Primaria.
3.3. Pasos metodológicos que se siguieron para la
elaboración del libro propuesto
En este epígrafe se precisan los
pasos metodológicos seguidos para la elaboración del libro propuesto, los que
se pueden apreciar en los capítulos anteriores.
La sociedad le plantea a la
escuela un conjunto de exigencias relativas a la formación de un individuo, de
modo que este sea capaz de enfrentar los distintos problemas que se originan en
la propia sociedad. Este conjunto de exigencias constituye el encargo social de
la escuela, por lo que los planes y programas de estudio tienen que responder a
este encargo y es por mediación del proceso enseñanza-aprendizaje que se le da
cumplimiento al encargo social.
El proceso enseñanza-aprendizaje es entonces, un
proceso de naturaleza social, lo que fue reconocido, como plantea Carlos Álvarez de Zayas (16), por Carlos Marx
y Federico Engels en el Manifiesto Comunista susescrito por ellos.
Este carácter del proceso docente – educativo
presupone el carácter social de sus componentes, lo que ha sido puntualizado
por Álvarez de Zayas; de ahí que los libros, como medios de enseñanzas tienen
este carácter: medios que tienen que contribuir al cumplimiento del encargo
social de la escuela.
Por lo anteriormente expuesto
resulta imprescindible, en los pasos que se siguen para la elaboración de un
libro con fines didácticos, partir del encargo social de cada subsistema del
Sistema Nacional de Educación. El encargo social de la Educación Superior (17)
es la formación de un profesional de perfil amplio con una sólida formación
teórico – práctica de amplia base que pueda ser versátil y que responda a una
gama mucho mayor de problemas.
Cada carrera en dependencia de
este encargo social ha determinado el modelo del profesional, al que tributa
cada disciplina. La fundamentación y objetivos generales planteados en los
programas de las Disciplinas reflejan su contribución a la formación de ese
profesional de perfil amplio, contribución que se pone de manifiesto en los
restantes niveles estructurales del proceso enseñanza-aprendizaje como la
asignatura, tema, clase y tarea.
En resumen, para dar cumplimiento
al encargo social se debe aplicar el principio de la sistematicidad, o sea, de
la derivación gradual de los objetivos que debe regir la planificación del
proceso enseñanza- aprendizaje.
El análisis histórico – lógico de
la preparación del profesional en los temas de una disciplina es otro paso a tener en cuenta, pues este
análisis pone de manifiesto las regularidades y tendencias que aportan
criterios para la elaboración de la literatura, entre las que se encuentra la
propia necesidad de dicho libro; pero aún más, permite determinar principios
metodológicos para el desarrollo de los temas correspondientes.
Por otro lado, se debe hacer una
caracterización de los contenidos actuales de la disciplina en la práctica
profesional y establecer comparaciones con respecto a los que se imparten en
formación del profesional.
Las tendencias actuales de la
práctica profesional con respecto a los contenidos de la disciplina en otros
países constituyen un aspecto a tener en
cuenta; en primer lugar, en la concepción científica y metodológica de los
contenidos de una disciplina y en la selección y elaboración de la literatura a
emplear.
El diagnóstico actual de la
preparación del egresado es otro aspecto a considerar, es decir, es necesario
determinar si en la práctica profesional el graduado está lo suficientemente
preparado para desarrollar exitosamente los diferentes temas de la disciplina.
Las deficiencias detectadas en este diagnóstico son indicadores de la necesidad
de profundizar o cambiar el enfoque científico y metodológico de los temas correspondientes.
También la aplicación de
cuestionarios a profesores de experiencia y a alumnos acerca de los libros
existentes suministra opiniones valiosas para la elaboración de un nuevo libro.
Unido a los pasos anteriores es
necesario hacer un estudio de fundamentos teóricos y metodológicos acerca de la
elaboración de libros con fines didácticos que permitan estructurar
científicamente un libro.
Teniendo en cuenta todos los
elementos mencionados hasta aquí se procede a la elaboración de un libro de
nueva concepción. Posteriormente se introduce en el desarrollo de la
docencia y se somete a valoración de
expertos.
Por último se elabora la versión definitiva del
libro.
ESQUEMA DE LOS PASOS METODOLÓGICOS QUE SE SIGUIERON
PARA LA ELABORACIÓN DEL LIBRO PROPUESTO.
|
3.4.- Estructuración del libro propuesto
En la revisión bibliográfica
realizada se encontraron criterios acerca de la estructuración de un libro de
texto. Específicamente, Mercedes Cordero
Bretón (33) plantea la necesidad de
distinguir diferentes elementos en la estructuración de un libro, los que
tienen lugar en determinadas formas y denomina componentes estructurales.
También hace referencia a una clasificación general de los componentes
estructurales de un libro de texto dada por el autor D. D. Zuev y considera que en la estructura de los
componentes, el autor es el que determina los elementos que se desarrollarán.
En la estructuración de los
componentes de un libro de texto, expuesta por M. Cordero, se consideran dos
aspectos o subsistemas generales, en la siguiente figura se ilustra dicha composición:
ESTRUCTURA
DE LOS COMPONENTES DEL LIBRO DE TEXTO.
A.- Contenido fundamental: está conformado por los textos y los enunciados del contenido esencial,
es lo expresado de manera sustancial.
B.- Contenido complementario: se refiere a los textos y los enunciados que implican llamamientos,
materiales documentarios y materiales de estudio no obligatorio.
C.- Aclaradores textuales: son textos en forma de consulta, aclaración, nota o comentario.
D.- Aparato organizativo de la asimilación: se compone de preguntas, tareas,
tablas y respuestas.
E.- Materiales ilustrativos
o ilustradores gráficos: son ilustraciones que se avengan a las temáticas
y asuntos;
dibujos científicos aplicados, técnicas instructivas, esquemas,
planos, diagramas; fotos - ilustraciones y mapas.
F.- Aparato que orienta: está conformado por introducción, prefacio o el prólogo, índice o
sumario, señales, símbolos, título en columna, bibliografías.
Para la estructuración del libro de Geometría que se
propone, se tuvieron en cuenta los componentes estructurales planteados por
Mercedes Cordero. A continuación se explica y ejemplifica el criterio que se siguió en cada caso.
3.4.1-Concepción de los componentes textuales
La concepción de los componentes
textuales responde a los principios planteados en el segundo capítulo. En lo
que sigue se caracteriza cada uno de estos componentes.
A.-
Contenido fundamental
Para la selección de los
contenidos geométricos que se abordan en el libro se tuvo en cuenta:
-
los contenidos de la Planimetría que tradicionalmente se han impartido
en la formación de maestros primarios.
-
los contenidos de la Planimetría que se abordan en la escuela
primaria. (Anexo 6)
-
las opiniones expresadas al respecto por los profesores de Matemática
de las facultades de Educación Primaria al responder el cuestionario aplicado.
(Anexo 24)
-
experiencia personal en la formación de maestros primarios.
A
continuación se plantean las temáticas que se abordan en el libro propuesto:
Ø Conceptos básicos de la
Planimetría. Relación y axiomas de incidencia. Relaciones de posición entre
rectas.
Ø Axiomas de orden. Segmento,
semirrecta y semiplano.
Ø Definición y elementos de un
ángulo. Ángulo convexo y ángulo cóncavo. Parejas de ángulos.
Ø Axiomas de congruencia y de
medición. Longitud de segmentos y amplitud de ángulos.
Ø Línea poligonal. Polígono:
elementos y clasificación
Ø Triángulos:
-
Congruencia de triángulos
-
Teoremas sobre los
ángulos de un
triángulo que conducen
a desigualdades. Clasificación de los triángulos según sus ángulos.
-
Teoremas sobre las parejas de ángulos formados entre dos rectas cortadas
por una tercera. Algunas propiedades de rectas paralelas y de rectas
perpendiculares.
-
Teoremas sobre ángulos interiores y exteriores de un triángulo que
conducen a igualdades.
-
Teoremas que relacionan ángulos y lados de un triángulo. Clasificación
de triángulos según sus lados. Propiedad de la mediatriz de un segmento y de
las mediatices de un triángulo.
-
Teorema que relaciona los lados de un triángulo. Menor distancia entre
dos puntos.
Ø Otros teoremas de congruencia de
triángulos. Propiedad de la bisectriz de un ángulo y de un triángulo.
Ø Cuadriláteros.
-
Definición y elementos de un cuadrilátero.
-
Clasificación de los cuadriláteros:
a)
Cuadriláteros que no tienen lados paralelos.
b)
Cuadriláteros que tienen lados paralelos.
-
Congruencia de cuadriláteros.
-
Construcción de cuadriláteros.
Ø Propiedades generales de los
polígonos.
Ø Los movimientos o isometrías del
plano.
-
Definición de movimiento y consideraciones generales.
-
Reflexión con respecto a una recta. Simetría axial.
-
Rotación. Simetría con respecto a un punto.
Con respecto a la estructura
científica del contenido se determinó seguir una construcción axiomática, la
que está caracterizada por la aplicación del principio de la relación entre la
intuición y el rigor. También en la determinación de adoptar una construcción
axiomática se consideró el criterio dado por los profesores de las facultades
de Educación Primaria en el cuestionario aplicado.
El sistema de axiomas que se
adoptó (Anexo 26) está formado por cinco grupos
y parte de la existencia del plano como conjunto universo, cuyos
elementos son puntos y ciertos subconjuntos son
rectas.
Primer grupo (axiomas de incidencia): En
este grupo se han considerado dos axiomas, el primero es el relativo a la
determinación única de una recta y el segundo plantea la existencia de
infinitos puntos en y fuera de una recta.
El segundo axioma es fuerte con
respecto a otros axiomas de incidencia considerados por autores como
Müller(108), Hilbert (55) y Sergio Castro (62). Esto hace que se reduzca la
cantidad de proposiciones que necesitan ser demostrados, como por ejemplo
para los autores citados la siguiente
proposición es demostrable: “Cada recta tiene infinitos puntos”, sin embargo
esta proposición está contemplada en este segundo axioma.
A su vez esta característica del segundo
axioma hace que en él, esté concebida una elevada dosis de intuición;
además, ambos axiomas
tienen un enfoque intuitivo,
debido a que su obtención se concibe a partir de interrogantes como:
|
B .
A.
A .
. B
2.- Dada la recta r en el plano p, determine todos los
posibles puntos que cumplan las
siguientes relaciones:
¿ A qué conclusión llega usted en los dos ejercicios anteriores?
|
Además se destaca que el axioma relativo a la determinación única de una
recta es producto de la experiencia práctica de los hombres; por ejemplo, desde
la antigüedad y aún hoy día, para que
los albañiles, los jardineros y los agricultores puedan trazar una línea recta,
estos se valen de un cordel tirante que
une dos estacas o puntillas.
Por otra parte, el rigor de este
grupo de axiomas está dado porque sus axiomas tienen carácter de proposiciones
iniciales, que son independientes; pero no contradictorios y con ellos se
pueden demostrar otras proposiciones tales como:
-
Por un punto pasan infinitas rectas.
-
Dos rectas tienen como máximo un punto común.
Segundo grupo (Axioma de paralela): Este
axioma es equivalente al quinto postulado de Euclides y garantiza la unicidad
de una paralela a una recta por un punto exterior. Se enuncia de la forma
tradicional, enunciado que coincide con el dado por el inglés John Playfair en
1795.
Tercer grupo (Axiomas de orden): Este grupo
está conformado por cuatro axiomas. El primero se refiere al orden lineal de
los puntos de una recta y se basa en la relación básica: “... se encuentra entre... y ...”, la que se
considera entre puntos de una misma recta. El segundo axioma garantiza la
existencia de infinitos puntos entre dos cualesquiera de una recta. Los otros
dos axiomas determinan una partición en el conjunto de puntos de una recta y
del plano.
Cuarto grupo (Axiomas de congruencia): Este
grupo pone de manifiesto que la vía seleccionada considera al concepto de
congruencia como primario con respecto al de movimiento, por lo que la relación
básica es: “... es congruente con...”. Esta vía se seleccionó por varias
razones, una de ellas es porque la Geometría que se desarrolla en la escuela
primaria la sigue, aunque no de forma pura por motivos didácticos. Otra de las
razones está dada por la experiencia personal del autor de esta tesis, el que
considera que los axiomas de movimientos son menos asequibles para los alumnos
que los de congruencia, ya que estos últimos están más en correspondencia con
las vivencias de la vida cotidiana. Esta última razón garantiza un mayor grado
de intuición de este grupo de axiomas.
Este grupo
está conformado por
siete axiomas, los tres
primeros están referidos a
segmentos. El primero de ellos garantiza la posibilidad y unicidad del
transporte de segmentos; el segundo, reconoce la congruencia de segmentos como
una relación de equivalencia; y el tercero se refiere a la unión de dos
segmentos consecutivos respectivamente congruentes a otros dos, lo que
garantiza la unicidad de la suma de longitudes.
Los tres axiomas siguientes son
referidos a ángulos, garantizando en este caso el transporte de ángulos sobre
un semiplano a partir de una semirrecta contenida en el borde de dicho
semiplano, la determinación de clases de equivalencia en el conjunto de los
ángulos y la unicidad de la suma de amplitudes. Los axiomas que establecen la
relación de equivalencia tanto en el conjunto de los segmentos como en el
conjunto de los ángulos son fuertes con respecto al los axiomas adoptados por
Hilbert y esto hace que se ponga de manifiesto el principio de la relación
entre el rigor y la intuición.
El último axioma es el referido
axioma de congruencia de triángulos con el que se puede demostrar los teoremas
de congruencia relativos a: las longitudes de dos lados y la amplitud del
ángulo comprendido, las longitudes de sus tres lados y la longitud de un lado y
las amplitudes de los ángulos adyacentes a ese lado.
Quinto grupo (Axiomas de medición) Este
grupo está conformado por dos axiomas, uno referido a la medición de longitudes
y otro a la medición de amplitudes. En estos axiomas se parte de la existencia
del conjunto de los números reales, lo cual asegura la continuidad de la recta.
Estos axiomas de medición parten de la experiencia práctica que tienen los alumnos y no es necesario recurrir a los axiomas de
continuidad planteados por Müller y Hilbert.
Estos axiomas son fuertes con
respecto a los axiomas planteados por Hilbert (55) y aunque son equivalentes a
los dados por Pogórelov (117), su estructuración en incisos permite diferenciar
dos operaciones: la de medir la longitud (amplitud) de un segmento (ángulo)
dado y la de trazar un segmento (ángulo) dada la medida de su
longitud(amplitud).
El enfoque metodológico que se
pone de manifiesto en el desarrollo del contenido fundamental responde a los principios
propuestos para la enseñanza de la Geometría, destacándose esencialmente el de
la vinculación del contenido geométrico con la metodología de la enseñanza de
la Geometría. Los aspectos que se tratan con mayor énfasis son las situaciones
típicas que se refirieron en el capítulo anterior al caracterizar el principio de la vinculación del contenido
geométrico con la metodología de la enseñanza de la Geometría.
1. Tratamiento de conceptos y sus
definiciones: estructura de las definiciones y la formulación de definiciones equivalentes.
Específicamente en el
tratamiento de conceptos y sus definiciones se introduce la estructura de la
definición existencial más empleada en Geometría.
Ejemplo 1: Definición # 15: Ángulos adyacentes(página 53 del libro)
Existen diferentes tipos de definiciones, la
definición de ángulos adyacentes es una definición existencial, específicamente
llamada por algunos autores real u objetiva, este tipo de definición
existencial tiene la estructura siguiente:
Concepto
por definir = Concepto superior (genérico) + Características invariantes
Ángulos adyacentes dos ángulos consecutivos unión es un ángulo llano
Es importante destacar
que un mismo concepto se puede definir mediante diferentes expresiones, es
decir, a lo que se define, conocido por definiendum, se le puede asociar un
conjunto de diferentes términos y relaciones, nombrado definiens. Por ejemplo,
el concepto de ángulos adyacentes se puede definir también de la forma
siguiente:
1.-Dos ángulos
consecutivos a un lado de una recta se denominan ángulos adyacentes.
2.-Dos ángulos
que tienen solamente un lado común y cuya unión es un ángulo llano se denominan
ángulos adyacentes.
En la expresión 1 se mantiene el concepto superior o
genérico “ ángulos consecutivos” y se
sustituye la expresión de la característica por otra equivalente. En el caso de
la 2, se sustituye el concepto genérico
por su respectivo definiens y se mantiene la expresión de la característica
invariante. Las expresiones 1 y 2 son definiciones equivalentes a la definición
# 15, pues les corresponden los mismos representantes.
En el ejemplo anterior se dan
impulsos para determinar definiciones equivalentes. Textos como estos preparan
condiciones para orientar ejercicios que exigen escribir definiciones
equivalentes como se concibe en el aparato de asimilación que se aborda
posteriormente.
2. Tratamiento de teoremas y
demostraciones: formulación de recíprocos y contrarrecíprocos, así como
reconocimiento de sus aplicaciones en la
solución de ejercicios; condiciones suficientes y necesarias; procedimientos
heurísticos para la búsqueda de una vía de demostración.
Para el tratamiento de esta
situación típica se enfatiza en las condiciones suficientes y necesarias de una
proposición dada. Fundamentalmente se trabajan las condiciones suficientes y
necesarias para: el paralelismo de
rectas, la congruencia de ángulos y la
congruencia de segmentos.
Ejemplo # 2: Condiciones suficientes para la
congruencia de ángulos. (página 83 del libro)
El teorema de los ángulos
opuestos por el vértice plantea una condición suficiente para la congruencia de
dos ángulos.
|
En el presente epígrafe
se han estudiado otras condiciones suficientes para afirmar la congruencia de
dos ángulos, tales como:
-
Dos ángulos congruentes a un tercero
-
Dos ángulos que tienen la misma amplitud.
-
Dos ángulos adyacentes a ángulos congruentes.
Estas condiciones
suficientes le serán muy útiles en la solución de ejercicios fundamentalmente
en demostraciones.
En relación con el proceso parcial, búsqueda
del teorema, se emplea tanto la vía deductiva como la reductiva. La aplicación
de la vía deductiva se emplea en la explicación dada en el componente textual.
En el caso de la vía reductiva se utilizan principalmente los procedimientos de
mediciones y comparaciones, y las formulaciones de recíprocos y
contrarrecíprocos. La búsqueda de teoremas se indica en la mayoría de los casos
mediante ejercicios propuestos, o sea, que el componente textual se desarrolla por medio de un componente del no textual,
específicamente con el aparato de asimilación, lo que pone de manifiesto el carácter sistémico de
los componentes estructurales.
Ejemplo # 3:
Búsqueda de teoremas por la vía reductiva. (página 120 del libro)
|
||||
|
||||
a b
a b
a |
b
a | | b c a | | b
c
c
c
a b a
b 
a
c
c 
b
a | | b
a | | b
Para el tratamiento de las
demostraciones se dan orientaciones generales a partir de la demostración del
primer teorema y se dan indicaciones
sobre los tipos de demostración: indirecta
y directa. También se plantean impulsos heurísticos; por ejemplo,
para los ejercicios de demostrar
congruencia de triángulos y se explica y ejemplifica las estrategias hacia
adelante y hacia atrás.
Ejemplo # 4: Impulsos heurísticos para
demostrar la congruencia de triángulos. (página 111 del libro)
ATENCIÓN: Para
resolver ejercicios de demostración de congruencia de triángulos resultan muy útil tener en cuenta las
siguientes indicaciones:
1. Identifique los dos triángulos en cuestión e
identifique sus elementos.
2. Analice los datos y determine si se plantean o si se
pueden deducir algunas congruencias entre los respectivos elementos de los triángulos.
3. Escriba todas las congruencias de modo que en el
miembro izquierdo (derecho) de cada una
aparezcan los elementos de un mismo triángulo.
4. Analice la relación de posición que guardan entre sí
los elementos de un mismo triángulo que intervienen en las congruencias
planteadas y determine si están en correspondencia con algunos de los
criterios. Si la respuesta es sí, entonces se ha demostrado la congruencia de
los triángulos; pero si es no, entonces comience de nuevo por las primeras
indicaciones.
5. Si el ejercicio exige demostrar la congruencia de
dos lados o de dos ángulos, analice primero si son respectivamente lados o
ángulos de dos triángulos y si se puede demostrar la congruencia de estos
triángulos.
6. Si el ejercicio exige demostrar determinada propiedad
de un elemento o alguna relación entre elementos de la figura dada, la que no
está expresada por una congruencia, analice si se puede deducir alguna
congruencia de la propiedad o relación dada y
proceda como se orienta en la
indicación anterior.
3.- Tratamiento
de las construcciones geométricas:
En el tratamiento
de las construcciones geométricas se sigue el criterio de abordar las
fundamentales paralelamente con los conceptos geométricos correspondientes;
aunque no existan en ese momento los medios matemáticos para fundamentarlas.
Específicamente,
las construcciones de rectas paralelas y perpendiculares con regla y cartabón
se fundamentan al estudiar los teoremas sobre las parejas de ángulos formados
entre dos rectas cortadas por una tercera (Anexo 29, sección II del
subepígrafe).
En la sección VII del subepígrafe 3.2.3 se
fundamentan las construcciones de la mediatriz de un segmento y de la bisectriz
de un ángulo. Además en esta sección se abordan las construcciones de paralelas
y perpendiculares con regla y compás, así como las construcciones de
triángulos.
Al abordar las primeras
construcciones se dan los pasos generales a tener en cuenta al resolver un
problema de construcción (Anexo 29, página 30). En el caso de las
construcciones de triángulos se dan impulsos para el análisis partiendo de la
figura de análisis (Anexo 29, página 179).
En el estudio de los problemas
relativos a las construcciones de triángulos se diferencian dos grandes grupos:
I.- Problemas de construcción de triángulos en los que solamente
intervienen las longitudes de lados o
las amplitudes de los ángulos.
II.- Problemas de construcción de triángulos en los que aparecen
entre sus datos longitudes de segmentos
de algunas de sus rectas notables.
B.- Contenido complementario
Los contenidos no obligatorios
se han colocado preferentemente en epígrafes independientes a los que contienen
los restantes componentes textuales. Específicamente estos epígrafes son:
-
1.2.- Breve reseña histórica del desarrollo de la Geometría.
-
1.3.- El método axiomático en la construcción de una teoría.
C.- Aclaradores textuales
Se han considerado tres tipos
fundamentales de aclaraciones o comentarios importantes y en ellas penetran los
diferentes principios propuestos, esencialmente los relativos a la historicidad
y a la vinculación con la metodología y con la combinatoria.
1) Los aclaradores o comentarios
relativos al desarrollo histórico de la Geometría como ciencia se han llamado CURIOSIDADES
HISTÓRICAS y aparecen intercaladas en los diferentes componentes
estructurales, aunque con mayor preferencia en el contenido fundamental.
Ejemplo #5: Aclarador textual relativo a las curiosidades históricas. (página
29 del libro)
Siglo
IV
a.n.e.
·
·
·
1795
2) Las aclaraciones o comentarios
en las que se ponen de manifiesto la vinculación con la metodología y las ideas
combinatorias aparecen fundamentalmente bajo la denominación ATENCION, pero
existen acciones de estos principios que no están concebidos bajo el vocablo
ATENCION.
Principalmente estas
aclaraciones son relativas a la aplicación de algún concepto y su definición
(Anexo 29, página 98); teoremas y su demostración (Anexo29, página 27)
procedimiento de solución ya sea algorítmica o heurística o idea combinatoria
(Anexo 29, página 156, 174, 31). El ejemplo # 4 planteado también es un
aclarador textual.
|
Ejemplo
# 6:
Aclaración textual relativas a un concepto y su definición. (página 207 del
libro)
3) Los aclaradores textuales que
aparecen en forma de recuadros resúmenes se han concebido con el objetivo de precisar
aspectos generales y esenciales de un epígrafe.
-
Aclaradores en forma de
cuadro resúmenes con el objetivo de enfatizar en la construcción axiomática que
se sigue. (Anexo 29, página 45, 70)
- Aclaradores en forma de cuadros resúmenes
con el propósito de recordar proposiciones fundamentales: (Anexo 29, página 34)
 |
3.4.2. Concepción de los componentes no textuales
D.- Aparato organizativo de la asimilación
La concepción de este aparato
resulta importante, pues contribuye a dar cumplimiento a la función de
ejercitación y adiestramiento planteado por Gnot y Mazairz y a desarrollar el
pensamiento lógico, la imaginación y la creatividad planteados por Mercedes
Cordero. La función principal de este aparato es la desarrolladora.
Dada la relación dialéctica que existe entre los componentes
estructurales de la categoría didáctica contenido, no se puede
concebir este aparato aislado de los componentes textuales y además, el aparato
organizativo tiene que tomar en consideración el perfil del profesional para
quien se destina la literatura.
En la
estructuración de este aparato se pueden tener en cuenta diferentes criterios,
estos son:
§ Lugar en que se ubican en el
libro.
-intercalado en el propio desarrollo del subsistema textual
-independiente al subsistema textual, al final de un subepígrafe, de
un epígrafe o de un capítulo.
§
Consideración de ejercicios
resueltos o no.
§
Niveles de asimilación
§
Carácter de solución, algorítmica o
heurística.
§
Habilidades específicas de la
Geometría.
§
Habilidades profesionales.
En la organización de este aparato se consideró conveniente
plantear ejercicios resueltos que pueden apoyar el estudio independiente de los
alumnos, sin que ello limite el desarrollo de la independencia en la búsqueda
de soluciones en otros ejercicios, ni la imaginación, ni la creatividad de esta
búsqueda. El planteamiento de ejercicios resueltos tiene como objetivo
ejemplificar procedimientos de solución. El 100% de los profesores muestreado
de las facultades de Educación Primaria planteó que el libro debía tener
algunos ejercicios resueltos.
Entre los ejercicios resueltos se plantean:
-
Ejercicios que tienen el propósito de aplicar el recíproco y
contrarrecíproco de teoremas; así como a partir del análisis de la búsqueda de
la vía de solución obtener un algoritmo para su solución: (Anexo 29, página
130)
-
Ejercicios resueltos con ideas combinatorias: (Anexo 29, página 25)
Ejemplo
# 8: Ejercicio resuelto con ideas combinatorias. (página 106 del libro)
Escriba
todos los posibles tríos de congruencias entre los respectivos elementos de los
triángulos HIJ y RST
de modo que resulten congruentes por el criterio de congruencia l a l..
¿ ? Þ { HIJ = RST
ANÁLISIS
Cada lado de un triángulo puede ser congruente con
cualquiera de los tres lados del otro triángulo; luego, suponiendo que un lado
sea congruente con un determinado lado del otro, entonces existen dos
posibilidades para cada uno de los restantes lados, por lo que se pueden formar
3.2=6 tríos de congruencias diferentes con los respectivos lados de dos
triángulos. Pero con cada uno de estos tríos se pueden formar tres pares de
congruencias, por tanto existen 6.3=18
posibles pares de congruencias de dos respectivos lados de los dos
triángulos.
Las posibles congruencias
para afirmar que los triángulos dados sean congruentes, por el criterio l a l,
están formadas por esos 18 pares y la congruencia de los respectivos ángulos
comprendidos en cada caso.
1.- HI @ TR, HJ@ SR, Ð
H @ Ð R Þ
2.- HI @ TR, IJ @ ST, Ð I @ Ð T Þ
3.- HJ @ SR, IJ@ ST, Ð J@ Ð S Þ
4.- HI @ TR, HJ @ ST, Ð
H@ Ð T Þ
5.- HI @ TR, IJ @ SR, Ð
I @ Ð R Þ
6.- HJ @ ST, IJ @ SR, Ð
J @ Ð S Þ
·
Þ
·
Þ
·
Þ
Las
restantes 12 posibilidades se pueden
obtener en forma similar.
Además, se plantean ejercicios propuestos intercalados en el
subsistema textual. Entre estos ejercicios se pueden distinguir tres tipos:
1)
Ejercicios que tienen como
objetivo la asimilación de los conocimientos.
-
Ejercicios para aplicar
definiciones de conceptos y escribir definiciones equivalentes: (Anexo 29,
página 54, 207)
-
Ejercicios para aplicar
teoremas, sus recíprocos y contrarrecíprocos: (Anexo 29, página 83, 84, 223)
-
Ejercicios de construcciones
geométricas: (Anexo 29, página 170)
-
Ejercicios con ideas
combinatorias: (Anexo 29, página 108, 38)
Ejemplo # 9: Ejercicio resuelto de construcción de triángulo. (Anexo
29,página 194 )
Construir un triángulo ABC, conociendo:
a
| |
b
| |
a+b
|
Análisis
C
b a
A
c B
hallar la diferencia entre ambas sumas, de esta
forma se obtiene un representante de amplitud g. Para hallar g, basta trazar la semirrecta opuesta a uno de los lados del ángulo de amplitud a+b
y el ángulo adyacente a este es de amplitud g.
 |
g a+b
 |
Luego, este problema se reduce a la construcción
básica l.a.l. Se deja al lector la construcción del triángulo.
2)
Ejercicios que tienen como
objetivo la búsqueda de suposiciones:
(Anexo 29, página 120, 134, 146)
Ejemplo # 10: Ejercicio para la búsqueda de suposiciones.(Anexo 29, página 233
)
3)
Ejercicios que tienen como
finalidad la elaboración de medios de enseñanza: (Anexo 29, página 144, 156,
257)
Ejemplo # 11: Ejercicio para la construcción de un medio de enseñanza.(Anexo
29,página 140)
|
Trace un triángulo cualquiera y recorte los ángulos. Después colóquelos uno a continuación de otro en forma
consecutiva. Puede pegar pedazos de lija por detrás para que se sujete en
franelógrafo. En la siguiente figura se ilustra la actividad.
B
b
b a
a
A g
g
C
a b g
En cuanto a la distribución de los ejercicios por capítulos se
tiene:
-
En el primer capítulo no se orientan ejercicios con las finalidades
anteriores, lo que está dado por el
carácter informativo que tiene sobre aspectos generales; aunque se plantea como
actividad para el estudio independiente consultar otras bibliografías para
ampliar sobre el desarrollo histórico de la Geometría.
-
En el segundo capítulo se tiene como promedio un ejercicio por cada
1,2 página. La mayor cantidad de ejercicios está orientados en los epígrafes
dedicados al tratamiento de ángulos,
parejas de ángulos y axiomas de medición.
-
En el tercer capítulo se
tiene como promedio un ejercicio por cada 1,1 página. La sexta parte de los
ejercicios propuestos tienen la finalidad de búsqueda de suposiciones y la
mayor cantidad de ejercicios están dedicados a la fijación de conceptos y
propiedades de los cuadriláteros. Esto último está justificado por ser estas
las figuras plana, además del triángulo, que más se trabajan en la escuela
primaria.
-
El cuarto capítulo tiene como
promedio un ejercicio por cada 0,8 página. Los ejercicios están dirigidos en su
esencia a la construcción de imágenes y a la búsqueda de suposiciones.
E.- Materiales ilustrativos o ilustraciones gráficas
En general se han empleado materiales ilustrativos
relativos a las representaciones gráficas de los elementos geométricos
relacionados con las temáticas que se abordan, Este componente no textual juega
un papel muy importante en la literatura propuesta, ya que uno de los objetivos
principales de la enseñanza de la Geometría es el desarrollo del pensamiento geométrico
espacial, pensamiento que está determinado por las habilidades que se tengan en
la representación mediante dibujos o modelos de objetos del espacio real, así
como interpretar dibujos de objetos tridimensionales dados en un plano.
Con la presencia de este componente estructural se contribuye a dar
cumplimiento al principio que relaciona la intuición y el rigor, pues aunque
con ellas solas no se puede realizar una demostración, las representaciones sí
facilitan la comprensión y el razonamiento de una demostración.
Además se emplean esquemas lógicos con las siguientes finalidades:
1.
Para ilustrar de manera
resumida los pasos que se han seguido para la construcción axiomática de la
Geometría que se desarrolla: (Anexo 29, página
85)
2.
Para la sistematización de distintos conceptos: (Anexo 29, página
134)
Ejemplo # 12: Esquema lógico para indicar los pasos seguidos en la
construcción axiomática (Anexo 29,página
35)
 |
Ejemplo
# 13: Esquema que sistematiza los conceptos de los
cuadriláteros. (Anexo 29, página 222 del libro)
F.- Aparato que orienta
Todos los componentes no
textuales tienen importancia en la estructuración de una literatura docente,
sin embargo se pudiera pensar en que el aparato que orienta es menos importante
que los restantes. Esto es un error, pues este componente no textual no tiene
como función una simple orientación, sino que en la medida en que esta
orientación sea la más eficiente posible entonces contribuye a lograr en los alumnos:
-
Una mayor independencia en el uso de los libros y esto propicia una mayor independencia
cognoscitiva.
-
Una actitud favorable hacia el estudio de la disciplina en cuestión,
aumentando el interés y la motivación.
Ejemplificación de las
características de los elementos del aparato orientador que se tuvieron en
cuenta en el libro propuesto.
1.-Introducción: en ella se
expone para qué usuarios se destina, sus objetivos principales y se dan
orientaciones de la estructuración general del libro, en las que se indica la
simbología que se emplea para los distintas componentes estructurales.
2.-Indice: en él aparecen los
capítulos, epígrafes, subepígrafes y secciones en que se han dividido algunos
subepígrafes, de modo que el alumno pueda localizar con la mayor brevedad las
temáticas de su interés.
3.-Señales o símbolos: se han
empleado distintas ilustraciones y colores que constituyen señales para
distinguir algunos elementos tanto del propio subsistema no textual como del
textual, estos son:
|
||||
|
||||
|
3.5.-Valoraciones sobre
la propuesta del libro de Geometría
El libro propuesto
ha sido empleado, específicamente, como bibliografía de consulta desde el
curso, 1996-1997. En el primer curso que se puso en práctica contó con un
ejemplar y los alumnos con dos, que fueron colocados en la biblioteca de la
Facultad, con los dos primeros capítulos. A partir del siguiente se trabajó con
tres ejemplares completos. Durante estos cursos se realizaron sesiones de
trabajo con los profesores para puntualizar la concepción científico-
metodológica del curso de Geometría que se desarrolla.
Se realizó una entrevista (Anexo 27) a los dos profesores que emplearon
el libro para recoger sus valoraciones al respecto. A continuación se plantean
los principales criterios expresados en dicha entrevista:
-
Los contenidos que se abordan están
en correspondencia con el perfil ocupacional de un maestro primario y permiten
tratar con un mayor nivel de profundidad los contenidos que aparecen en los
programas de primaria.
-
El sistema de axioma es asequible a
los alumnos.
-
El enfoque metodológico del
contenido permite que los alumnos se apropien de aspectos teóricos del
tratamiento metodológico de la Geometría, esto se logra con el tratamiento
explícito de situaciones típicas de la enseñanza de la Geometría.
-
Los ejercicios resueltos son de
gran utilidad porque contribuyen al desarrollo del pensamiento lógico y en
todos los casos se pone de manifiesto el procedimiento generalizado para la
solución de problemas.
-
La diferenciación de los ejercicios
sí es adecuada, se corresponde con los
diferentes niveles de asimilación del contenido y contribuye al
desarrollo de habilidades profesionales. Además, propicia el estudio
independiente si el profesor hace una correcta orientación de los
ejercicios resueltos y los propuestos.
-
La estructuración metodológica del
libro permite que los alumnos se apropien de la construcción axiomática que se
aborda. A esto contribuye la presentación de los axiomas en recuadros
destacados, los resúmenes parciales y los esquemas lógicos que se hacen en los
primeros epígrafes.
-
La estructuración de los capítulos,
epígrafes y secciones es adecuada. Resulta de gran valor los resúmenes que
aparecen al final de cada epígrafe y las proposiciones para recordar.
-
La concepción del aparato
orientador empleado en el libro cumple su función, pues permite a los alumnos
orientarse en la búsqueda de los diferentes ejercicios y en el caso de las curiosidades históricas
resultan llamativas.
-
Los principios metodológicos
propuestos por el autor se ponen de manifiesto de manera explícita a través de
todo el libro.
-
Los principales logros del libro
están dados en su carácter didáctico, lo que contribuye a interesar a los
alumnos por el estudio de la Geometría, y en su correspondencia con el perfil
de un maestro primario.
Con la aplicación de un cuestionario (Anexo 28) a los estudiantes se
conoció también que:
El 100% de ellos tuvo la
posibilidad de consultarlo. El 89,6%
considera que le resulta fácil la búsqueda de información en la literatura
y que los ejemplos de ejercicios
resueltos les sirven de guía para resolver otros ejercicios. El 82,7% plantea
que está escrito en un lenguaje claro y asequible.
En relación con qué objetivo lo empleaban, se tienen los siguientes
resultados:
-
El 93,1% lo emplea para el estudio
de definiciones y teoremas y el 41,3% plantea que este es el mayor uso que le da.
-
EL 100% lo emplea para consultar
los ejercicios resueltos y para los ejercicios propuestos y el 58,6% reconoce
que es el mayor uso que le da.
-
El 48,2% plantea que lo emplea para
la búsqueda de informaciones históricas.
3.6.-Conclusiones
En el libro elaborado se
ponen de manifiesto los principios
metodológicos propuestos en el segundo capítulo y en él se evidencia que se
tuvieron en cuenta las insuficiencias que presentaron los maestros en las
investigaciones referidas en la introducción de la tesis.
Para la elaboración de un
libro debe tenerse en cuenta que por su calidad de intermediario en el proceso
enseñanza-aprendizaje; esta debe modelar las funciones: instructiva,
desarrolladora y educativa. Por tanto en su estructuración debe tenerse en
cuenta que sus diferentes componentes
permitan el cumplimiento de estas funciones.
La función instructiva se
logra en el libro propuesto por medio de los distintos componentes
estructurales, pero tiene mayor incidencia el componente textual: contenido
fundamental. El contenido se desarrolla con un orden lógico teniendo en cuenta
un sistema de axiomas simplificado y un tratamiento metodológico basado en los
principios propuestos que garantiza su asequibilidad.
La función desarrolladora
se cumple principalmente mediante el aparato de asimilación, el que está
compuesto por 150 indicaciones para el estudio independiente con un total de
305 ejercicios, de los cuales hay 63 que tienen carácter investigativo y exigen
que los alumnos busquen y establezcan relaciones entre los conocimientos
adquiridos. Por otra parte, el tratamiento explícito de aspectos metodológicos,
dado por uno de los principios propuestos, propicia que los alumnos conozcan algoritmos y
procedimientos heurísticos que puedan servirles
de base para la solución de nuevas situaciones.
El cumplimiento de la
función educativa se logra por la contribución que hace a la formación de puntos de vista y
concepciones científicas en los estudiantes. En general el perfil profesional
que se le imprime al libro con los principios propuestos influye en la
educación político- moral de los futuros maestros por cuanto se contribuye
egresar a un licenciado en Educación Primaria mejor preparado en los contenidos
geométricos para desempeñar su ocupación profesional.
Los profesores que introdujeron el libro propuesto dan una valoración
positiva, destacando su correspondencia con el perfil ocupacional del maestro y
su contribución al desarrollo del pensamiento lógico. Por su parte los
estudiantes reflejan que el libro fue empleado y la mayoría valoran que su
estructura facilita su uso y comprensión.
CONCLUSIONES
1. La caracterización histórica que
se hace de la enseñanza de la Geometría en la formación de maestros primarios
en Cuba permitió determinar tendencias de esta enseñanza, las que constituyen
una fuente para la precisión y fundamentación teórica del tratamiento metodológico de la Geometría en la Licenciatura
en Educación Primaria.
2.
Los principios metodológicos propuestos enriquecen la didáctica de la
enseñanza de la Matemática en la Licenciatura en Educación Primaria. En
particular, constituyen postulados generales para la planificación y dirección
del tratamiento de la Geometría en correspondencia con el perfil profesional, tienen carácter de sistema y
tributan al cumplimiento de los principios generales de la Didáctica.
3.
En el
proceso de elaboración del libro de Geometría Plana
para la formación de un Licenciado en Educación Primaria se tuvo en cuenta un
conjunto de pasos que transcurren por tres etapas que siguen el camino de la
teoría del conocimiento: el diagnóstico, el pronóstico y la validación. La
aplicación de estos pasos permitió que el libro elaborado esté en
correspondencia con el perfil de un Licenciado en Educación Primaria, lo que se
evidencia con la concreción de los principios metodológicos en su
estructuración.
4.
En correspondencia con una de las leyes de la
Didáctica y los tres campos de los objetivos generales de la enseñanza de la
Matemática, a los que la enseñanza de la Geometría tributa de manera
relevante, toda literatura docente de Matemática debe cumplir
las funciones: instructiva, desarrolladora y educativa. Los componentes estructurales
del libro de Geometría Plana del libro elaborado están concebidos de modo que
dan cumplimiento a estas funciones.
5. La aplicación de los principios propuestos
y su materialización en el libro elaborado inciden de manera positiva en la
esfera motivacional, en la formación profesional de los alumnos, en el
desarrollo de la independencia cognoscitiva y en el nivel
científico-metodológico de los conocimientos geométricos.
RECOMENDACIONES
- Generalizar la
aplicación los principios metodológicos propuestos en el tratamiento de la
Geometría en las facultades de Educación Primaria del país y que a su vez
sean de dominio de los profesores de Geometría de la carrera de la
Licenciatura en Educación, especialidad Matemática-Computación.
- Introducir los principios metodológicos
propuestos en los distintos cursos de postgrado sobre Geometría para
maestros de primaria y profesores de Matemática de la enseñanza general.
- Generalizar el empleo
del libro de Geometría Plana en la carrera de la Licenciatura en Educación
Primaria en el país.
- Determinar un sistema
de axiomas para la estructuración de la Geometría del Espacio para la
Licenciatura en Educación Primaria en correspondencia con el propuesto en
la tesis para la Geometría Plana y proyectar la elaboración de un libro de
Geometría del Espacio para esta carrera que tenga en cuenta la concepción
científico-metodológico que se siguió en el que se propone en esta tesis.
- Considerar que los
principios metodológicos propuestos son susceptibles de aplicación en
otras ramas del saber de la Matemática.
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Material mimeografiado en el Instituto
Superior Técnico de Cienfuegos.
39. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Matemática :
Tercer Grado. Programa / Ministerio de Educación. - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1990. - - p53-76.
40. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Matemática :
Cuarto Grado. Programa / Ministerio de Educación. - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1990. - - 18p.
Material mimeografiado en el
Instituto Superior Técnico de Cienfuegos.
41. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Matemática :
Quinto Grado. Programa / Ministerio de Educación. - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1989. - - p50-64.
42. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Matemática :
Sexto Grado. Programa / Ministerio de Educación. - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1990. - - p65-80.
43. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Matemática
Séptimo Grado. - - 3.ed . - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1973.
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44. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Orientaciones
Metodológicas / Ministerio de Educación. - - La Habana , [s.a.]. - - 50p.
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45. CUBA, MINISTERIO
DE EDUCACIÓN. Pedagogía/ Ministerio de Educación. - - La Habana : Ed. Pueblo y
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46. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Programa de
Matemática. Escuelas de Formación de Maestros Primarios. Primer año. Primer
semestre/ Ministerio de Educación. - - La Habana , 1972. - - 13p.
47. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Programa de
Matemática. Escuelas de Formación de Maestros Primarios. Primer año. Segundo
semestre/ Ministerio de Educación. - - La Habana , 1972. - - 22p.
48. CUBA, MINISTERIO
DE EDUCACIÓN. Programa de Matemática.
Escuelas de Formación de Maestros Primarios. Segundo año. Primer semestre/
Ministerio de Educación. - - La Habana , 1972. - - 26p.
49. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Programa de
Matemática. Escuelas de Formación de Maestros Primarios. Segundo año. Segundo
semestre/ Ministerio de Educación. - - La Habana, 1972. - - 21p.
50. CUBA,
MINISTERIO DE EDUCACIÓN. Programas de
Matemática. Escuelas Pedagógicas /
Ministerio de Educación. - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación , 1980. - -
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Conferencias sobre metodología de la enseñanza de la Matemática 2 / Werner
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78. KLINGBERG,
LOTHAR. Introducción a la Didáctica General/ Lothar Klingberg. - - La Habana :
Ed. Pueblo y Educación, 1972. - - 447p.
79. LABARRERE
REYES, GUILLERMINA. Pedagogía/ Guillermina Labarrere Reyes, Gladys Valdivia
Pairol. - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1988. - - 354p.
80. LARGER, O.
Organización Escolar. Primera parte. Escuela Normal para Maestros / O. Larger. –
La Habana : Editorial Carlos M Felipe, / s. a./. -- p.
81. Lecciones para
todos.
Material audiovisual y bibliográfico
para ayudar y orientación de profesores y alumnos del primer año de la
Enseñanza Secundaria Básica.- - /s.l/ : /s.n/, 1961. - - 2t.
82. LÓPEZ PÉREZ,
ABEL. Tratamiento de los polígonos en las escuelas primarias del municipio de
Abreus/ Abel López Pérez López, Milays Prado Pérez; Robert Barcia Martínez. -
-63h. - - Trabajo de Diploma (FMP) . - - Universidad, Cienfuegos. - - 1998.
83. MALAGÓN,
YANETH. Una opción de clase de Matemáticas a nivel medio / Yaneth Malagón. - - En
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84. MALARA,
NICOLINA. El planteamiento de problemas y el razonamiento hipotético en
Geometría / Nicolina A. Malara, Loredana Gherpelli . - - En Didáctica de
las Matemáticas. (Italia), no 1, 1995
85. MANRIQUE BELLO,
SILVINO. Introducción al estudio de la Geometría Plana/ Silvino Manrique Bello
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86. Manual o guía
para los exámenes de maestros cubanos/ Enrique José Varona...[et. al.]. - -La
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87. MAREV, IVÁN.
Problemas actuales de la teoría del libro de texto universitario/ Iván Marev,
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Habana ), no.3, 1977.
88. MARTÍN PEDRAZA,
CARMEN ROSA. Proyección para la superación de Los metodólogos, directores y
maestros de la enseñanza primaria del municipio de Cumanayagua / Carmen R.
Martín Pedraza, Saraí Carvajal Romero;
Rosa Pretell González. - -36h. - - Trabajo de Diploma (FMP). - -
Universidad, Cienfuegos. - - 1995.
89. MARTÍNEZ RECIO,
A. Una metodología activa y lúcida para la Enseñanza de la Geometría / A.
Martínez Recio, F.Juan Rivaya. - - Madrid : Ed. Sintesis S. A, 1989. - - 144p
90. Matemática /
Celia Rizo Cabrera ... | et. Al.|. En : Orientaciones Metodológicas de Cuatro
Grado. - - La Habana : Ed .Pueblo y Educación, 1991.- - 106p.
Material mimeografiado en el Instituto
Superior Técnico de Cienfuegos.
91. Matemática / Celia Rizo Cabrera ... | et. al.| . En :
Orientaciones Metodológicas de Quinto Grado. - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1989. - - p 1-182.
92. Matemática / Celia Rizo Cabrera ... | et. al.| . En :
Orientaciones Metodológicas de Sexto Grado. - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1990. - - p 1-182.
93. Matemática /
Miriam Villalón Incháustegui ... | et. al.| . En : Orientaciones Metodológicas de Primer Grado. - - La Habana
: Ed. Pueblo y Educación, 1988. - - p 3-122.
94. Matemática
/ Miriam Villalón Incháustegui ... | et.
al.| . En : Orientaciones Metodológicas de Tercer Grado. - - La Habana : Ed.
Pueblo y Educación, 1990. - - p 3-128.
95. Matemática / Rosa
L.Peña Gálvez ... | et. al.| . En : Orientaciones Metodológicas de Segundo Grado. - - La Habana
: Ed. Pueblo y Educación, 1989. - - p 1-121.
96. Matemática 1
/ Miriam Villalón Incháustegui...| et.
al. | . - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1988. - - 136p.
97. Matemática 2 /
Miriam Villalón Incháustegui... | et. al.| . - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1989. - - 160p.
98. Matemática
3 /
Miriam Villalón Incháustegui... | et. al.| . - - La Habana : Ed. Pueblo
y Educación, 1990. - - 173p.
99. Matemática
4 /
Celia Rizo Cabrera ... | et. al.| . - - La Habana : Ed. Pueblo y
Educación, 1991. - - 203p.
100.
Matemática 5
/ Celia Rizo Cabrera ... | et.
al.| . - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1989. - - 254p.
101. Matemática
6 /
Celia Rizo Cabrera ... | et. al.| . - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1990. - - 247p.
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séptimo grado / Félix Muñoz Baños...[et. al.].- - La Habana : Ed. Pueblo y
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la enseñanza de la Matemática 1/ Sergio Ballester Pedroso...[ et. al.].- - La
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la investigación educacional / Gastón Pérez Rodríguez...[ et. al.]. - - La
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ARTURO. Matemática. Segundo Curso. Geometría/ Arturo Miyares, José M. Escalona.
- - Cuarta edición. - - La Habana : Editora Ministerio de Educación, 1964. -
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108. MÜLLER,
HORST. Conceptos básicos de la Geometría
Plana I / Horst Müller. – Primera edición. - - La Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1975. - - 102 p.
109. ____________ Conceptos básicos
de la Geometría Plana II / Horst Müller. – Primera edición. - - La Habana
: Ed. Pueblo y Educación, 1977. - - 140
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Superior Técnico de Cienfuegos. Facultad de Educación Primaria. - - 20p
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PéREZ RODRíGUEZ, GASTóN. Metodología de la investigación pedagógica y
psicológica. Tomo 1 / Gastón Pérez Rodríguez, Irma Nocedo León. - - La Habana :
Ed. Pueblo y Educación, 1983. - - 116p.
117. PETROVSKY, A. Psicología General
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118. POGORÉLOV,
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instrucción pública y bellas artes. Decreto Num.1, 153. Plan y cursos de
estudios para las Escuelas Normales/ Secretaría de instrucción pública y bellas
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Organización del Estado Actual de la Escuela Normal para Maestros de
Cienfuegos/ Pedro Soto del Camino. - - Tesis de Grado. - - Universidad de La
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Fundamentos teóricos de la enseñanza de la Geometría y orientaciones metódicas
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Habana : Ed. Pueblo y Educación, 1974. - - 220p.
136. TALIZINA, NINA
F. La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares/ Nina F.
Talizina.- - La Habana, 1987. - - 100p.
137. TANEGUCHI,
PABLO. Cómo superar las matemáticas de 30 de B.U.P/ Pablo Taneguchi.
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Tendencias de los educadores matemáticos
iberoamericanos / Paúl Torres...[ et. al.].- - La Habana : Instituto Superior
Pedagógico Enrique José Varona, 1998. - - 41p.
139. Tendencias
pedagógicas contemporáneas. Corporación Universitaria de Ibargué. - - Colombia
: El Poira Editores e Impresores S.A., 1996. - - 175p.
140. THOMPSON,
J.E. Geometría / J.E. Thompson. - - México : Ed. UTEHA,
1961. - - 345 p
141. TORRES SANTOMÉ,
JURJO. Libros de texto y control del currículum/ Jurjo Torres Santomé. - -
p.50-55. - - En Cuadernos Pedagógicos. ( Barcelona) no. 168, marzo 1989
142. VALLE LIMA,
ALBERTO D. Elementos de la Didáctica General / Alberto D. Valle Lima. 1999.
Material mimeografiado
143. ___________________________La
preparación Matemática de los estudiantes de la Formación de Maestros primarios
y su relación con las exigencias sociales actuales./ Alberto D. Valle Lima.- -
143h. - - Tesis de grado (Candidato a doctor en Ciencias Pedagógicas). - -
Instituto Central de Ciencias Pedagógicas; La Habana, 1988.
144. VIGOTSKY, LEV S. Pensamiento y
Lenguaje / Lev S. Vigotsky. - - La Habana: Ed. Pueblo y Educación, 1982. - -
150p.
145. WUSSING, H.
Conferencias sobre Historia de la Matemática/ H. Wussing. - - La Habana : Ed.
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146. ZILLMER, WOLFGANG. Complementos
de Metodología de la enseñanza de la Matemática / Wolfgang Zillmer - - La
Habana : Ed. Libros para la Educación, 1981. - - 230p.
147. ______________________ Matemática. Tercer año. Curso básico/
Wolfgang Zillmer, Alberto Valle Lima. - - La Habana : Ed. Libros para la
Educación, 1981. - - 55p.
148. ______________________ Orientaciones Metodológicas Matemática.
Tercer año. Curso especialización/ Wolfgang Zillmer, Alberto Valle Lima. - - La
Habana : Ed. Libros para la Educación, 1981. - - 94p.
ANEXOS
Nivel
1(Reconocimiento).
a)
Percepción global de las figuras.
b)
Percepción individual de las figuras.
c)
Uso de propiedades imprecisas para identificar,
comparar, ordenar, o caracterizar figuras.
d)
Aprendizaje de un vocabulario matemático básico para
hablar de las figuras, describirlas, etc.,
acompañado de otros términos de uso común que sustituyen a los
matemáticos.
e)
No se suelen reconocer explícitamente las partes que
componen las figuras ni sus propiedades matemáticas.
Nivel
2(Análisis).
a)
Reconocimiento de que las figuras geométricas están
formadas por partes o elementos y están dotadas de propiedades matemáticas. Se
describen las partes que integran una figura y se enuncian sus propiedades. Se
es capaz de analizar las propiedades matemáticas de las figuras.
b)
La definición de un concepto consiste en el recitado
de una lista de propiedades, lo más exhaustiva posible, pero en la que puede
haber omisiones de características necesarias.
c)
No se relacionan diferentes propiedades de una figura entre sí o con las de
otras figuras. No se establecen
clasificaciones a partir de relaciones entre propiedades.
d)
La deducción de propiedades se hace mediante
experimentación. Se generalizan dichas propiedades a todas las figuras de la
misma familia.
e)
La demostración de una propiedad se realiza mediante
su comprobación en uno o pocos casos.
Nivel 3 (Clasificación)
a)
Capacidad para relacionar propiedades de una figura
entre sí o con las de otras figuras.
b)
Comprensión de lo que es una definición matemática y
sus requisitos. Se definen correctamente conceptos y familias de figuras.
c)
La demostración de una propiedad se basa en la
justificación general de su veracidad, para lo cual se usan razonamientos
deductivos formales.
d)
Comprensión
realización de implicaciones simples en un razonamiento formal.
Comprensión de los pasos de una demostración explicada por el profesor.
Capacidad para repetir tal demostración y adaptarla a otra situación análoga.
e)
Incapacidad para realizar demostraciones formales
completas. No se logra una visión glbal de las demostraciones y no se comprende
su estructura.
Nivel 4 (Deducción formal)
a)
Realización de las demostraciones mediante razonamientos
deductivos formales.
b)
Capacidad para comprender y desarrollar
demostraciones formales. Capacidad para adquirir una visión global de las
demostraciones y para comprender la misión de cada implicación simple en el
conjunto.
c)
Aceptación de la posibilidad de demostrar un
resultado mediante diferentes formas de demostración o a partir de distintas
premisas.
d)
Aceptación de la existencia de definiciones
equivalentes de un concepto y uso indistinto de ellas.
e)
Capacidad para comprender la estructuración
axiomática de las matemáticas: Significado y uso de axiomas, definiciones,
teoremas, términos no definidos, etc.
Nivel 5(Rigor)
a)
Posibilidad de trabajar en sistemas axiomáticos
distintos del usual de la geometría euclídea.
b)
Capacidad para realizar deducciones abstractas
basándose en un sistema de axiomas determinado.
c)
Capacidad para establecer la consistencia de un
sistema de axiomas.
d)
Comprensión de la importancia de la precisión al
tratar los fundamentos y las relaciones entre estructuras matemáticas.
Nivel
|
||||||
I
|
II
|
III
|
IV
|
V
|
||
H
A
B
I
L
I
D
A
D
|
Reconocimiento
|
Análisis
|
Ordenamiento
|
Deducción
|
Rigor
|
|
V
I
S
U
A
L
|
Reconocer
diferentes figuras en un dibujo
Reconocer información contenida en una
figura.
|
Notar
propiedades de una figura.
Identificar una figura como parte de
una mayor.
|
Reconocer
interrelaciones entre diferentes tipos de figuras.
Reconocer las propiedades comunes de
diferentes tipos de figuras.
|
Utilizar información de otra figura
para deducir más información.
|
Reconocer
supuestos injustificados hechos al usar figuras.
Concebir figuras relacionadas en varios
sistemas deductivos.
|
|
V
E
R
B
A
L
|
Asociar el nombre correcto con una
figura dada.
Interpretar frases que describen
figuras.
|
Describir adecuadamente varias
propiedades de una figura.
|
Definir
palabras adecuadas y concisamente.
Formular frases que muestren relaciones
entre figuras.
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Comprender
las distinciones entre definiciones, postulados y teoremas.
Reconocer qué información da un
problema y qué información hay que hallar.
|
Formular
extensiones de resultados conocidos.
Describir varios sistemas deductivos.
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P D
A I
R B
A U
J
A
R
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Hacer dibujos de figuras, nombrando
adecuadamente las partes.
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Traducir
información verbal dada en un dibujo.
Utilizar las propiedades dadas de una
figura para dibujarla o construirla.
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Dada cierta figura construir otras
relacionadas con la primera.
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Reconocer
cómo y cuándo usar elementos auxiliares en una figura.
Deducir de información dada cómo
dibujar una figura específica.
|
Comprender
las limitaciones y capacidades de varios elementos de dibujo.
Representar gráficamente conceptos no
estándar en varios sistemas deductivos.
|
|
L
Ó
G
I
C
A
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Darse cuenta
de que hay diferencias y similitudes entre figuras.
Comprender la conservación de las
figuras en distintas posiciones.
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Comprender
que las figuras pueden clasificarse en diferentes tipos.
Notar que las propiedades sirven para
distinguir las figuras.
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Comprender las cualidades de una buena
definición.
Usar las propiedades para determinar si
una clase de figuras está contenida en otra.
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Utilizar las
reglas de la lógica para desarrollar demostraciones.
Poder deducir consecuencias de la
información dada.
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Comprender
las capacidades y limitaciones de supuestos y postulados.
Saber cuándo un sistema de postulados
es independiente, consistente y categórico.
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P M
A O
R D
A E
L
A
R
|
Identificar formas geométricas en
objetos físicos.
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Reconocer
propiedades geométricas de objetos físicos.
Representar fenómenos en un modelo.
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Comprender el concepto de un modelo
matemático que representa relaciones entre objetos.
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Poder deducir
propiedades de objetos de información dada.
Poder resolver problemas relacionados con
objetos.
|
Usar modelos
matemáticos para representar sistemas abstractos.
Desarrollar modelos matemáticos para
describir fenómenos físicos, sociales y naturales.
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Gráfico 1 Muestra las insuficiencias de los
maestros licenciados en las habilidades geométricas básicas que se obtuvieron
como resultado del trabajo de diploma asesorado en el curso 1995- 1996 (130 ).
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Gráfico
2 Presenta el porciento de los
licenciados muestreados que tienen dominio de conceptos y propiedades
geométricos y de aspectos metodológicos de la enseñanza de la Geometría en la escuela primaria que se
obtuvo como resultado del trabajo de diploma asesorado en el curso 1995-1996. (130 )
|
Gráfico
3 Presenta la distribución de los
licenciados muestreados con respecto a la preferencia por impartir clases de
Geometría según los resultados obtenidos en el trabajo de diploma asesorado en
el curso 1995 - 1996. (130)
|
Gráfico
4 Muestra los porcientos que se
obtuvieron en los cuestionarios aplicados a los maestros en el desarrollo del
trabajo de diploma asesorado en el curso 1997-1998. ( 82)
Gráfica 1
Gráfico 2 Muestra la distribución en porciento de la
preferencia de los maestros licenciados por la Geometría.
1.Axiomas de incidencia.
a)
Por dos puntos puede trazarse una sola recta.
b)
La recta tiene infinitos puntos y hay infinitos
puntos que no pertenecen.
c)
Tres puntos no alineados determinan un único plano.
2.Axiomas de orden.
a)
Existen dos órdenes totales opuestos en cada recta.
b)
La recta no tiene primero ni último elemento.
c)
Cada recta divide al plano en dos semiplanos tales
que el segmento que une dos puntos de un semiplano(ninguno de los dos está en
la recta) no intersecta a la recta y el segmento que une dos puntos de
distintos semiplanos intersecta a la recta.
3.Axiomas de congruencia.
a)
Todo segmento tiene una longitud determinada(positiva).
Si C es un
punto del segmento AB entonces la longitud de AB es la suma de las longitudes
de AC y BC.
b)
Cada ángulo tiene una amplitud positiva determinada.
El ángulo llano
tiene una amplitud de 180 y si el
rayo c
está entre los lados del Ð (a,b) entonces
la amplitud del Ð(a,b) es la
suma de las amplitudes de Ð(a,c) y Ð(c,b).
c)
Todo segmento se puede transportar de manera unívoca
sobre una semirrecta a partir de su origen.
d)
Todo ángulo se puede transportar de manera unívoca
sobre un semiplano dado a partir de una semirrecta dada.
e)
Existe la mediatriz de todo segmento y la bisectriz
de cada ángulo.
f)
Los segmentos y ángulos simétricos son congruentes.
4.Paralelismo.
Por un punto exterior a una recta puede
trazarse una única paralela a esa recta.
5.Continuidad.
Para todo número positivo existe un segmento
de esa longitud y viceversa.(1)
(1) Obsérvese que con este enunciado se deja
abierto el problema de la continuidad; en este momento sólo puede garantizarse
el cumplimiento del axioma de Arquímedes
(números fraccionarios), pero no el de Cantor. Más adelante, cuando se
introduzcan los números reales, la misma propiedad garantiza la continuidad sin
necesidad de discusiones que en este momento resultan difíciles.
ANEXO
6 Conceptos geométricos que se trabajan
en la escuela primaria
CONCEPTOS DE OBJETOS
|
CONCEPTOS DE RELACIONES
|
CONCEPTOS DE OPERACIONES
|
- Punto
-
Recta
-
Segmento
-
Semirrecta
-
Plano
-
Semiplano
-
Ángulo
. ángulo agudo
. ángulo obtuso
. ángulo llano
. ángulo sobreobtuso
. ángulo completo
-
Polígono: vértices, lados.
. Triángulo
Triángulo escaleno
Triángulo isósceles
Triángulo equilátero
Triángulo acutángulo
Triángulo obtusángulo
. Cuadrilátero
Cuadrado
Rectángulo
Paralelogramo
Trapecio
Rombo
|
-
Relaciones de posición entre puntos y rectas.
. El punto
... está situado en la recta ...
. La recta
... pasa por el punto ...
. El punto
... está situado entre los puntos ... y ...
. Por dos
puntos pasa una y solo una recta.
. Por un
punto pasan infinitas rectas.
. Entre dos
puntos de una recta hay infinitos
puntos. La recta tiene infinitos puntos. La recta no tiene ni primer
punto ni último punto. La recta es una figura ilimitada.
-
Relaciones de posición entre rectas.
. Rectas que
se cortan.
. Rectas
paralelas.
. Rectas perpendiculares.
. Axioma de
paralela.
-
Relaciones de posición entre puntos, rectas y
plano.
.
Tres puntos no alineados determinan un único plano.
.
En un plano se pueden trazar tantos puntos y tantas rectas como uno desee.
|
-
Trazado de rectas.
-
Trazado de figuras geométricas con el uso de
plantillas.
-
Medición de la longitud de un segmento y trazado
de un segmento según una longitud dada.
-
Comparación de segmentos.
-
Trazado de circunferencias y círculos con un radio
dado.
-
Trazado de rectas paralelas y rectas
perpendiculares.
-
Medición de la amplitud de un ángulo y trazado de
un ángulo de amplitud dada.
-
Comparación de ángulos
-
Desarrollo de cuerpos.
-
Trazado de puntos y figuras simétricas con regla y
compás.
|
-
Figuras simétricas.
-
Mediatriz de un segmento.
-
Bisectriz de un ángulo.
-
Figura original y figura imagen.
-
Eje de simetría.
-
Vector.
-
Centro de simetría.
|
-
Relaciones de posición entre planos.
. Los planos
pueden cortarse o ser paralelos.
. Dos planos se cortan en una recta.
-
Segmento... más corto que, más largo que, el mismo
largo que el segmento...
-
Igualdad de segmentos.(por superposición)
-
Los ... que coinciden al superponerse son
iguales.(igualdad de figuras geométricas)
-
Los lados opuestos de un rectángulo son iguales y
paralelos y los consecutivos son perpendiculares.
-
Los lados opuestos de un paralelogramo son iguales
y paralelos.
-
Todos los puntos de una circunferencia están a la
misma distancia de su centro.
-
El diámetro es dos veces el radio.
-
Dos circunferencias de igual radio son iguales.
-
La base superior y la inferior de un ortoedro son
iguales. Sus caras opuestas son iguales.
-
Todas las caras de un cubo son iguales.
Las dos bases de un
cilindro son círculos iguales.
|
-
trazado de la mediatriz con regla y compás.
-
Trazado de la bisectriz con regla y compás.
-
Trazado de ejes de reflexión.
-
Trazado vectores iguales.
-
Determinación del centro de simetría.
-
Construcción de imágenes por reflexión con
respecto a un eje, traslación y reflexión con respecto a un punto.
|
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