A continuación se propone un sistema de tareas para interpretar problemas, de ecuaciones lineales en una y dos variables, ordenados en cuatro grupos. En el primer grupo se dan orientaciones dirigidas a la fase inicial del desarrollo de la habilidad para que el/la alumno/a identifique los tipos de datos, tanto conocidos como desconocidos, condiciones que cumplen los datos, y la forma de expresarlos.
En el segundo grupo se ofrecen preguntas heurísticas en orden a fortalecer la creatividad del/la alumno/a.
El tercer grupo está orientado a que el alumno formule preguntas para otros/as usando como herramientas básicas el diálogo y la colaboración. El cuarto grupo tiene la finalidad de que el/la alumno/a muestre el desarrollo de la habilidad de interpretación, mediante la resolución de problemas relacionados con el tema indicado.
El tercer grupo está orientado a que el alumno formule preguntas para otros/as usando como herramientas básicas el diálogo y la colaboración. El cuarto grupo tiene la finalidad de que el/la alumno/a muestre el desarrollo de la habilidad de interpretación, mediante la resolución de problemas relacionados con el tema indicado.
Para la interpretación de un problema se debe leer varias veces hasta familiarizarse con él, identificar a qué rama de la matemática corresponde, los conceptos matemáticos que intervienen, los datos desconocidos y conocidos representándolos con variables y símbolos adecuados y destacando las condiciones que cumplen, y finalmente expresar con sus palabras qué pide el problema.
Ejemplos de tareas.
1. Lee cada uno de los problemas siguientes, luego expresa lo que se te pide en cada caso.
La suma de cinco números consecutivos es 40. ¿Cuáles son esos números?
§ Tipo de datos expresados en este problema. ._____________________________________________
§ Número de cantidades desconocidas. .
§ Cantidades conocidas. .
§ Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones necesarias. . . Forma una sola expresión con todas las cantidades desconocidas de acuerdo con la frase “la suma de cinco números consecutivos”.
. .
§ Escribe una sola expresión para la relación existente entre las cantidades desconocidas y las conocidas.
. .
§ Explica con tus palabras las características de este problema.
- En un estante de una biblioteca hay un total de 625 libros. El número de libros de novelas es el doble del de cuentos y el de ciencia ficción tiene 35 ejemplares menos que el de cuentos. ¿Cuántos libros hay de cada género?
o Tipo de datos expresados en este problema. .
o Número de cantidades desconocidas. .
o Cantidades conocidas. .
o Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones necesarias. .
o Forma una sola expresión con todas las cantidades desconocidas de acuerdo con la frase “En un estante de una biblioteca hay un total de (…) libros”.
. .
o Escribe una sola expresión para la relación existente entre las cantidades desconocidas y las conocidas. .
o Explica con tus palabras las características de este problema.
- Las capacidades de dos recipientes, A y B, suman
§ Tipo de datos expresados en este problema. .
§ Número de cantidades desconocidas. .
§ Cantidades conocidas. .
§ Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y relaciones necesarias. .
§ Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y conocidas.
. .
§ Explica con tus palabras las características de este problema.
d. El perímetro de una habitación rectangular es 14m. ¿Cuáles son sus dimensiones, si tres veces el largo equivale a cuatro veces el ancho?
o Tipo de datos expresados en este problema. .
o Número de cantidades desconocidas. .
o Cantidades conocidas. .
o Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y relaciones necesarias.
. .
o Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y conocidas.
. .
o Explica con tus palabras las características de este problema.
e. En el patio de la casa de José hay una mata de aguacate y una de mango. El año pasado la cosecha de mangos fue igual al doble de la cosecha de aguacates y la diferencia de ambas cosechas fue igual a ¿Cuál fue el número de la cosecha de mangos y cuál el de la cosecha de aguacates?
§ Tipo de datos expresados en este problema. .
§ Número de cantidades desconocidas. .
§ Cantidades conocidas. .
§ Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y relaciones necesarias. .
§ Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y conocidas. .
§ Explica con tus palabras las características de este problema.
2. Lee varias veces cada uno de los siguientes problemas y responde las preguntas que se presentan a continuación.
a. Si sumamos la mitad y la tercera parte a la edad de Juan se tendrá un resultado de 66 años. ¿Cuál es la edad de Juan?
o ¿A qué tipo de datos corresponden las cantidades expresadas en este problema?
o ¿Cómo se puede expresar la mitad y la tercera parte de un número cualquiera?
o ¿Cómo expresarías la edad de Juan?
o ¿Cómo expresaría la edad de Juan con su mitad y su tercera parte?
o ¿Cómo se podría establecer la relación existente entre la edad de Juan, su mitad, su tercera parte y 66 años de acuerdo con lo que dice el problema?
o ¿Podrías expresar con tus palabras qué pide este problema?
b. Tres llaves de agua A; B y C llenan un depósito. La llave B aportó el doble de agua de la llave A y a la llave C le faltaron 5 litros para aportar el triple de lo que aportó la B. Si355 litros . ¿Cuántos litros aportó cada una de las llaves?
§ ¿A qué tipo de datos corresponden las cantidades expresadas en este problema?
§ ¿Cuáles de las cantidades que se expresan en este problema son conocidas?
§ ¿Cuáles expresiones se pueden asociar con cantidades desconocidas?
§ ¿Hay alguna cantidad desconocida de la cual dependan las demás? ¿Cuál?
§ ¿Cómo la expresarías?
§ ¿Cómo expresarías las demás a partir de ésta?
§ ¿Qué relación existe entre la cantidad total de agua y la sumatoria de las cantidades desconocidas que expresaste?
§ ¿Cómo establecerías esta relación?
§ Explica con tus palabras qué pide este problema.
c. El perímetro de un terreno pentagonal es de 283m, uno de sus lados es el doble del menor, otros dos exceden en 1 y 2 el doble del menor y al otro lado le faltan 10m para ser 3 veces el menor. ¿Cuál es la medida de cada lado?
§ ¿A qué tipo de datos corresponden las cantidades expresadas en este problema?
§ ¿Qué se entiende por perímetro y terreno pentagonal?
§ Hay un lado del terreno del cual dependen todos los demás, ¿podrías determinarlo?
§ ¿Cómo lo representarías?
§ A partir de este lado, ¿podrías representar los demás? ¿Cómo lo harías?
§ Una vez representados todos los lados del terreno, ¿se podría formar la expresión del su perímetro? ¿Cómo lo harías?
§ ¿Hay alguna cantidad conocida expresada en este problema? ¿Cuál es?
§ ¿Se puede establecer alguna relación entre la expresión del perímetro del terreno y esta cantidad que ya conocemos? Explique.
§ ¿Podrías expresar qué pide el problema? Explica con tus palabras.
d. Hace 10 años la edad de Pedro era 1/5 la edad de Juan, al cabo de 24 años la edad de Pedro será 3/5 la edad de Juan. ¿Cuál es la edad de cada uno?
· ¿Cómo son los datos expresados en este problema?
· ¿En este problemas se expresan cantidades conocidas? ¿Cuáles?
· ¿Cuáles palabras se pueden asociar con cantidades desconocidas?
· ¿Estas cantidades desconocidas se pueden expresar con la misma variable?
· ¿En qué depende una de otra?
· Si se necesita más de una variable para representar las cantidades, ¿podrías decir Cuáles conceptos matemáticos intervienen en este problema?
· ¿Cómo expresarías la edad de Juan?
· ¿Cómo expresaría la edad de Pedro hace 10 años en relación con la edad de Juan?
· ¿Como expresarías la edad de Pedro al cabo de 23 años con relación a la edad de Juan?
· Explica con tus palabras qué pide el problema.
e. El doble de un número sumado al triple de otro es 39. Si se le resta el segundo al doble del primero, la diferencia es 3. ¿Cuáles son esos números?
o ¿Qué tipo de datos se expresan en este problema?
o ¿En este problema observa algunas cantidades que sean conocidas? ¿Cuáles?
o ¿Cuáles expresiones se pueden asociar con cantidades desconocidas?
o ¿Cómo expresarías esas cantidades?
o ¿Existe alguna que dependa de otra para su expresión?
o ¿Cómo se relaciona una con otra?
o ¿Existe más de una relación?
o ¿Podrías expresar esas relaciones?
o ¿Qué conceptos matemáticos se pueden apreciar en este problema?
o Expresa con tus palabras qué pide el problema.
3. Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes problemas y escribe a continuación las preguntas que les harías a tus compañeros de modo que ellos puedan expresar la características de los datos conocidos y desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el problema y finalmente puedan decir qué les pide el problema.
a. Si sumamos a un número su mitad y su cuarta parte, el resultado es 119. ¿Cuál es ese número?
b. El perímetro de una superficie rectangular es de 148m. Si la longitud de la anchura es de 34m, determine la longitud de la largura.
c. En la repartición de un terreno con un área de 2,000m2 a cuatro hermanos, el primero recibe el 21%, el segundo el 22.5%, el tercero el 27.5% y el cuarto recibe el 29% restante. Determine qué cantidad del terreno recibe cada uno.
d. Una camioneta transporta tres cajas de papas. Las tres tienen un peso total de 125 kilos. Una de las cajas pesa el doble de la más liviana y a la otra le faltan 15 kilos para pesar el triple. ¿Cuánto pesa cada una de las cajas de papas?
e. Determine el área aproximada del círculo decorativo del Jardín Botánico de Santo Domingo, si tiene una longitud de 31.42m.
4. Resuelve cada uno de los siguientes problemas conforme al sistema operacional indicado. (Determinar la rama de la matemática a que corresponde, características de los datos conocidos y desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el problema y explicar con tus palabras qué pide el problema).
a. El perímetro de una superficie rectangular es de 448m. Si la longitud de la anchura es de 84m, determine la longitud de la largura.
b. Una camioneta transporta tres cajas de papas. Las tres tienen un peso total de 325 kilos. Una de las cajas pesa el doble de la más liviana y a la otra le faltan 25 kilos para pesar el triple. ¿Cuánto pesa cada una de las cajas de papas?
c. El perímetro de un terreno hexagonal es de 426m, uno de sus lados es el doble del menor, otros tres exceden en 1, 2 y 3 el doble del menor y al otro lado le faltan 70m para ser 3 veces el menor. ¿Cuál es la medida de cada lado?
d. Determina dos números positivos sabiendo que la tercera parte del primero es igual a la séptima parte del segundo y que la diferencia entre ambos es 28.
e. Una guagua de 60 pasajeros realiza el viaje desde Santo Domingo hasta Santiago-Puerto Plata. Los que viajan a Santiago pagan $200.00 y $250.00 los que viajan a Puerto Plata. Si al término del viaje el dinero obtenido suma $12,650.00, ¿Cuántos pasajeros eran de Santiago y Cuantos de Puerto Plata?
Explica el proceso seguido en cada caso, desde el inicio, haciendo énfasis en las condiciones que cumplen las cantidades desconocidas, dependencia entre ellas y relación con las cantidades conocidas.
Tareas para la evaluación
En lo adelante se propone un grupo de problemas cuya finalidad es valorar distintas fases del desarrollo de la habilidad de interpretación.
1. Lee varias veces el siguiente problema, luego expresa lo que se te pide.
La diferencia de dos números es 8 y 1/9 de su suma es 12. Determina los números.
- Tipo de datos expresados en este problema. .
- Número de cantidades desconocidas. .
- Cantidades conocidas. .
- Expresa las cantidades desconocidas según dependan una de otra realizando las operaciones y relaciones necesarias. .
- Escribe las expresiones de las relaciones existentes entre cantidades desconocidas y conocidas. .
- Explica con tus palabras las características de este problema.
2. En el siguiente problema, responde las preguntas que se te hacen, luego de leerlo varias veces.
Las diferencias entre las longitudes de las dimensiones de un rectángulo es 8. Si el largo equivale a 3 veces el ancho, determine la longitud de cada uno.
§ ¿Qué tipo de datos se expresan en este problema?
§ ¿En este problema observa algunas cantidades que sean conocidas? ¿Cuáles?
§ ¿Cuáles expresiones se pueden asociar con cantidades desconocidas?
§ ¿Cómo expresarías esas cantidades?
§ ¿Existe alguna que dependa de otra para su expresión?
§ ¿Cómo se relaciona una con otra?
§ ¿Existe más de una relación?
§ ¿Podrías expresar esas relaciones?
§ ¿Qué conceptos matemáticos se pueden apreciar en este problema?
§ Expresa con tus palabras qué pide el problema.
3. Lee Varias veces el siguiente problema y escribe a continuación las preguntas que les harías a tus compañeros de modo que ellos puedan expresar la características de los datos conocidos y desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el problema y finalmente puedan decir qué les pide el problema.
En el examen de matemática José y María obtuvieron las calificaciones más sobresalientes del primer grado en el Politécnico Lic. Víctor Estrella Liz. El triple de la calificación de José menos el doble de la calificación de María es 80. Determine ambas calificaciones sabiendo que 1/5 de la calificación de María menos 1/9 de la calificación de José es igual a 9.
4. Resuelve el siguiente problema conforme al sistema operacional indicado. (Determinar la rama de la matemática a que corresponde, características de los datos conocidos y desconocidos, palabras asociadas a cantidades desconocidas, condiciones que cumplen las cantidades desconocidas y relación con las cantidades conocidas, conceptos que intervienen en el problema y explicar con tus palabras qué pide el problema). Lugo Explica el proceso seguido desde el inicio haciendo énfasis en las condiciones que cumplen las cantidades desconocidas, dependencia entre ellas y relación con las cantidades conocidas.
En un taller de ebanistería hay 60 empleados, un grupo tiene un sueldo de $6,200.00 y otro grupo tiene el sueldo de $11,500.00. Si el total de la nómina es $504,500.00, determine cuántos empleados ganan $6,200.00 y cuántos ganan $11,500.00.
Los tipos de tareas docentes propuestas, como poseedoras de las exigencias del proceso de formación y desarrollo de la habilidad; así como los principales aportes dispuestos en la estructuración de las mismas, en la unidad temática seleccionada, tienen la finalidad de fortalecer su base orientadora y el modo de actuar que se espera en el alumno, que deberá manifestarse de acuerdo con los niveles de desarrollos que se proponen en esta tesis; concediendo vital importancia a las distintas áreas del conocimiento matemático, y los diferentes niveles didácticos que son fundamentales para la enseñanza de la matemática.
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